2009　慶応義塾大学　商学部MathJax

${\displaystyle \frac{{(a-bi)}^3}{2+3i}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}}}{\boxed{\text{(2)}\text{(3)}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}}{\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}}}i$

である．

$f(\theta )={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-\sqrt{3})\cos 2\theta +(4-3\sqrt{3})\sin \theta -2\cos \theta \sin 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}(7-3\sqrt{3})$

は，$\theta =\boxed{\text{(8)}\text{(9)}}°$のとき，最小値

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(14)}}}$

をとる．

　また，直線$y=f(x)$上の点${\mathrm{B}}_n(b_n,f(b_n))\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と，直線$y=g(x)$上の点${\mathrm{Q}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を，$b_1={\displaystyle \frac{4}{3}}$から始めて，上と同様にして定める．つまり，$b_1={\displaystyle \frac{4}{3}}$によって${\mathrm{B}}_1$を定める．${\mathrm{B}}_n$があたえられたとき，${\mathrm{B}}_n$から$x$軸に下ろした垂線と，直線$y=g(x)$の交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，${\mathrm{Q}}_n$から$y$軸に下ろした垂線と，直線$y=f(x)$の交点を${\mathrm{B}}_{n+1}$とする．

(ⅰ)　このとき

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}}}{\boxed{\text{(20)}}}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}}}}$

であり，

$b_n={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}}}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}$

である．

(ⅱ)　四角形${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}}}\right)}^{n-1}$

である．

(ⅰ)　このとき$\mathrm{P}$の座標は

$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(33)}}}}{\boxed{\text{(34)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}}})$

であり，$k=-\sqrt{\boxed{\text{(37)}}}$である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{QR}\text{，}$および放物線$C$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(41)}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}}$

である．

(ⅲ)　点 $\mathrm{Q}$を通り，$\angle \mathrm{PQR}$を$2$等分する直線を$m$とする．放物線$C$と直線$m$によって囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}\text{(45)}}}{\boxed{\text{(46)}\text{(47)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(48)}}}$

である．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおく．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(49)}\text{(50)}}}}{\boxed{\text{(51)}}}}$である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OB}$上の点で，$\angle \mathrm{OAQ}=60°$を満たす点を$\mathrm{Q}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

(ⅲ)　$r$を正の実数とし，点$\mathrm{R}$を次を満たす点とする．

• 1.　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=r$，
• 2.　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角は$30°$，
• 3.　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積は$2\sqrt{3}r$である．

　このとき，点$\mathrm{R}$の座標を$r$を用いて表せ．ただし，解は$2$つある（結果のみを，解答用紙$\mathrm{B}$の所定の解答欄に記入すること）．