2009　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】　$1810$年に会田安明（$1747\text{-}1817$）の和算書「算法天生法指南」が発行された．そこにはつぎのような問題が掲載されている．

今以横長紙結之，作五角形，只云横一寸五角形幾何．答曰$\cdots$

　幅一寸（約$3cm$）の横長の紙を結んで正五角形$\mathrm{ABCDE}$を作れば，その正五角形の一辺の長さはどれほどか，という問題である．図で示せば右のようになる．

これを解くために，$x=\cos 18°$の値をもとめる．$x$は方程式

$\boxed{\text{(1)}}\boxed{\text{(2)}}{x}^4-\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}{x}^2+5=0$

をみたす．これより，もとめる正五角形の一辺の長さ$L$は

$\sqrt{\boxed{\text{(5)}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}}{\boxed{\text{(8)}}}}}\text{(寸)}$

であることがわかる．その正五角形の面積は

${\displaystyle \frac{L^2}{\boxed{\text{(9)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}+\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}\sqrt{\boxed{\text{(14)}}}}\text{(}{\text{寸}}^2\text{)}$

である．　

【２】(1)　$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とおくと

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}}\boxed{\text{(16)}}+\boxed{\text{(17)}}\boxed{\text{(18)}}{t}^2}{1+t^2}}\text{，}\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}}\boxed{\text{(20)}}t}{1+t^2}}$

を得る．

(2)　実数$t$に対して

$p_t=-{\displaystyle \frac{t^2+2}{2(t^2+1)}}\text{，}{q}_t={\displaystyle \frac{t^2+2t+1}{t^2+1}}$

とおく．

${(a{p}^t+b)}^2+{(c{q}_t+d)}^2=1$

が任意の$t$に対して成立するように定数$a\text{（}>0\text{）}\text{，}b\text{，}c\text{（}>0\text{）}\text{，}d$をもとめると，

$a=\boxed{\text{(21)}}\boxed{\text{(22)}}\text{，}b=\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}\text{，}c=\boxed{\text{(25)}}\boxed{\text{(26)}}\text{，}d=\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}}$

である．

(3)　$p_t\text{，}{q}_t$を(2)で定義した$t$の関数とする．任意の実数$t$に対して$p_t<M$をみたす実数$M$全体のなかで最小のものは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}\boxed{\text{(32)}}}}$である．

【３】　整数$n$を自然数$m$で割った余り$r\text{（}0\leqq r<m-1\text{）}$を$n\mathrm{mod}m$と書く．$x\text{，}y$は$0$以上の整数として，つぎの$8$つの条件のそれぞれが$x\mathrm{mod}2=y\mathrm{mod}2$の必要十分条件であるかどうかを判定せよ．もし必要十分条件なら$1$を，そうでなければ$0$を対応する解答欄にマークしなさい．

1.　$x+y$は奇数である．	$\boxed{\text{(33)}}$
2.　$x+y$は偶数である．	$\boxed{\text{(34)}}$
3.　$xy$は奇数である．	$\boxed{\text{(35)}}$
4.　$xy$は偶数である．	$\boxed{\text{(36)}}$
5.　$3x+7y$は偶数である．	$\boxed{\text{(37)}}$
6.　$(x+1)y^2$は奇数である．	$\boxed{\text{(38)}}$
7.　$x+y$および$xy$はともに偶数である．	$\boxed{\text{(39)}}$
8.　$xy$は$4$で割り切れない偶数である．	$\boxed{\text{(40)}}$

【４】　以下$x\text{，}y\text{，}z$は$0$以上の整数とする．

(1)　$x+y+z=24$をみたす組$(x,y,z)$は$\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}$個ある．

(2)　$x\leqq y\leqq z$および$x+y+z=24$をみたす組$(x,y,z)$は$\boxed{\text{(44)}}\boxed{\text{(45)}}$個ある．

(3)　$x+2y+3z=24$をみたす組$(x,y,z)$は$\boxed{\text{(46)}}\boxed{\text{(47)}}$個ある．

【５-1】　つぎは仮想世界での話である．ある生物の雌雄一対がある日ある時刻に生まれた．その対を$\mathrm{A}$と名付ける．$\mathrm{A}$は$1$時間後に雌雄一対の子をもうけた．さらに$1$時間後雌雄一対の子をもうけ，その$30$分後に死んだ．$\mathrm{A}$の子孫の対はどれも$\mathrm{A}$と同じ一生を送った．さて，$\mathrm{A}$誕生から$n$時間後に生存する対の数を$f(n)$とし，$f(x)$の変化を問題としよう，$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$に対しては，

$f(0)=1\text{，}f(1)=2\text{，}f(2)=4\text{，}f(3)=6$

となる．その後の推移は，

$f(6)=\boxed{\text{(101)}}\boxed{\text{(102)}}\text{，}f(7)=\boxed{\text{(103)}}\boxed{\text{(104)}}\text{，}f(8)=\boxed{\text{(105)}}\boxed{\text{(106)}}\text{，}\cdots$

となる．

【５-2】　現在広く用いられているグレゴリウス暦のカレンダーでは，平年は$1$年が$365$日であるが，約$4$年に一度ある，うるう年は$1$年が$366$日である．その年，うるう年かどうかは，次の規則によって決められている．

• 1.　西暦年が$4$で割り切れない年は平年である．
• 2.　西暦年が$4$で割り切れるが，$100$で割り切れない年はうるう年とする．
• 3.　西暦年が$100$で割り切れるが，$400$で割り切れない年は平年とする．
• 4.　西暦年が$400$で割り切れる年はうるう年とする．

　これによると，$400$年に$\boxed{\text{(201)}}\boxed{\text{(202)}}$回のうるう年があり，$1$年は平均$365$日と$\boxed{\text{(203)}}$時間$\boxed{\text{(204)}}\boxed{\text{(205)}}$分$\boxed{\text{(206)}}\boxed{\text{(207)}}$秒となり，地球の公転周期とほぼ一致する．

　つぎのプログラムは，与えられた西暦年がうるう年かどうかを判定するものである．選択肢から空欄を埋めるもっとも適切なものを選び，その番号を答えなさい．

• 100 INPUT Y
• 110 IF INT(Y/4)*4 $\boxed{\text{(208)}}$ Y THEN GOTO $\boxed{\text{(209)}}$
• 120 IF INT(Y/100)*100 $\boxed{\text{(210)}}$ Y THEN GOTO $\boxed{\text{(211)}}$
• 120 IF INT(Y/400)*400 $\boxed{\text{(212)}}$ Y THEN GOTO $\boxed{\text{(213)}}$
• 140 PRINT "うるう年"
• 150 GOTO $\boxed{\text{(214)}}$
• 160 PRINT "平年"
• 170 END

[選択肢]

• (1)　$110$
• (2)　$120$
• (3)　$130$
• (4)　$140$
• (5)　$150$
• (6)　$160$
• (7)　$170$
• (8)　$=$
• (9)　$<>$