2009　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　座標平面上の点$(x,y)$が

$x^2-2xy+2y^2=4$

をみたして動くとき，

(1)　$x+y$の最大値は$\boxed{\text{(1)}}\sqrt{\boxed{\text{(2)}}}$であり，

(2)　${\displaystyle \frac{x}{y+4}}$の最大値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}+\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}}{\boxed{\text{(6)}}\boxed{\text{(7)}}}}$

である．

【２】　関数$A(x)$を実数$x$の範囲によってつぎのように定める．

$A(x)=\{\begin{array}{ll}x& 0\leqq x<1\\ -x+2& 1\leqq x<2\\ 0& x<0\text{または}x\geqq 2\end{array}$

　関数$B(x)$を

$B(x)=2{\displaystyle {\int }_0^1}A(x-t)dt$

で定めると

$B(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& 0\leqq x<1\\ \boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}{x}^2+\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}x+\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}& 1\leqq x<2\\ \boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}{x}^2+\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}x+\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}& 2\leqq x<3\\ 0& x<0\text{または}x\geqq 3\end{array}$

となる．このとき$B(\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}-x)=B(x)$が成り立ち，$B(x)\text{（}-5\leqq x\leqq 5\text{）}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}}\boxed{\text{(25)}}}}$であり，${\displaystyle {\int }_{-5}^5}B(x)dx=\boxed{\text{(26)}}\boxed{\text{(27)}}$である．

【３】

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$を$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1)$で作られる正方形の内部または境界上の点，$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OA}$上の点，$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{OC}$の点とする．このとき，条件

$|\mathrm{PQ}|=|\mathrm{OQ}|\text{，}|\mathrm{PR}|=|\mathrm{OR}|\text{，}\angle \mathrm{QPR}=90°$

をみたす点$\mathrm{P}$全体がつくる図形の面積は

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{(28)}}\boxed{\text{(29)}}}}+\boxed{\text{(30)}}\boxed{\text{(31)}}$

である．

【３】

(2)　半径$1$の円$A$と半径$3$の円$B$は，右図のように，互いに外接し，円$O$に内接し，円$O$の直径に$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$でそれぞれ接している．このとき，線分$\mathrm{CD}$の長さは$\boxed{\text{(32)}}\sqrt{\boxed{\text{(33)}}}$であり，円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(34)}}}{\boxed{\text{(35)}}}}(\boxed{\text{(36)}}+\sqrt{\boxed{\text{(37)}}})$である．

【４】

(1)　$m\text{，}n$は$0$以上の整数とする．$n$以下の素数の個数を$f(n)$と書く．定義より$f(0)=f(1)=0$であり，$f(20)=\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}}$である．$f(n)$が$m$以上であるような$n$の最小値を$g(m)$と書く．このとき，

$g(0)=\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}}\text{，}g(1)=\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}\text{，}g(10)=\boxed{\text{(44)}}\boxed{\text{(45)}}$

である．

【４】

(2)　つぎの$1$から$6$の文中の空欄にあてはまるものを後述の選択肢(1)〜(4)のうちから$1$つ選び，番号で答えなさい．文中$x\text{，}y$はともに実数とする．

• 1.　「$x>0$」は「$x\geqq 0$」のための$\boxed{\text{(46)}}$．
• 2.　「$x=0$」は「$x^2+y^2=0$」のための$\boxed{\text{(47)}}$．
• 3.　「$xy=0$」は「$x=0$かつ$y=0$」のための$\boxed{\text{(48)}}$．
• 4.　「$x^2+y^2=1$」は「$x+y=0$」のための$\boxed{\text{(49)}}$．
• 5.　「すべての$x$について$xy=0$である」は「$y=0$」のための$\boxed{\text{(50)}}$．
• 6.　「${(xy)}^2$が無理数である」は「$x$または$y$が無理数である」のための$\boxed{\text{(51)}}$．

[選択肢]

• (1)　必要十分条件である
• (2)　十分条件であるが必要条件ではない
• (3)　必要条件であるが十分条件ではない
• (4)　必要条件でも十分条件でもない

【５-1】　実数$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$\lfloor x\rfloor$と書く．いま，自然数$n$に対して，$2$次方程式

$x^2-2x-n=0$

の正の解を$a_n$とし，$b_n=\lfloor a_n\rfloor$とする．このとき，$b_{20}=\boxed{\text{(101)}}$であり，$b_n$が$10$以上となるのは$n\geqq \boxed{\text{(102)}}\boxed{\text{(103)}}$のときである．また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とすると，$S_{50}=\boxed{\text{(104)}}\boxed{\text{(105)}}\boxed{\text{(106)}}$である．

　一般につぎが成り立つ．

$S_{n^2}={\displaystyle \frac{1}{6}}(\boxed{\text{(107)}}\boxed{\text{(108)}}{n}^3+\boxed{\text{(109)}}\boxed{\text{(110)}}{n}^2+\boxed{\text{(111)}}\boxed{\text{(112)}}n+\boxed{\text{(113)}}\boxed{\text{(114)}})$

【５-2】　数列$\{a_n\}$は，最初の$2$項がともに$1$であり，一般項が直前の$2$項の和となっているときフィボナッチ数列とよばれる．すなわち$a_n$は

$a_n=\{\begin{array}{cc}1& \text{（}n=1\text{）}\\ 1& \text{（}n=2\text{）}\\ a_{n-1}+a_{n-2}& \text{（}n\geqq 3\text{）}\end{array}$

によって定義される．

　つぎのプログラムは，フィボナッチ数列の最初の$20$項を出力するものである．選択肢から空欄を埋めるもっとも適切なものを選び，その番号を答えなさい．

• 100 LET A = $\boxed{\text{(201)}}\boxed{\text{(202)}}$
• 110 LET B = $\boxed{\text{(203)}}\boxed{\text{(204)}}$
• 120 LET N = 0
• 130 IF $\boxed{\text{(205)}}\boxed{\text{(206)}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{(207)}}\boxed{\text{(208)}}$
• 140 LET N = N+1
• 150 LET B = $\boxed{\text{(209)}}\boxed{\text{(210)}}$
• 160 LET A = $\boxed{\text{(211)}}\boxed{\text{(212)}}$
• 170 PRINT B
• 180 GOTO $\boxed{\text{(213)}}\boxed{\text{(214)}}$
• 190 END

[選択肢]

• (10)　100
• (11)　110
• (12)　120
• (13)　130
• (14)　140
• (15)　150
• (16)　160
• (17)　170
• (18)　180
• (19)　190
• (20)　0
• (21)　1
• (22)　2
• (23)　3
• (24)　-1
• (25)　A
• (26)　B
• (27)　N
• (28)　N+1
• (29)　N-1
• (30)　A+B
• (31)　A-B
• (32)　B-A
• (33)　A*B
• (34)　INT(A/B)
• (35)　INT(B/A)
• (36)　A+N
• (37)　N > 20
• (38)　N < 20
• (39)　N < > 20
• (40)　N = 19
• (41)　N = 20
• (42)　N = 21
• (43)　N > A
• (44)　N > B
• (45)　N = A
• (46)　N < A
• (47)　N < B
• (48)　N = B