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2009 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の文章の空欄に適切な数,式または行列を入れて文章を完成させなさい.

(1)  x y 3 つの不等式

x>2 y x x-2 x+y 6

を満たすとき, 3x+ 2y の最大値は (あ) であり,最小値は (い) である.

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2月21日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の文章の空欄に適切な数,式または行列を入れて文章を完成させなさい.

(2) 実数 α に対して α を超えない最大の整数を [α ] と書く. [ ] をガウス記号という.

(ⅰ) 自然数 m けた 数をガウス記号を用いて表すと k= [ (う) ] である.

(ⅱ) 自然数 n に対して 3n の桁数を kn で表すと lim n knn = (え) である.

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2月21日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の文章の空欄に適切な数,式または行列を入れて文章を完成させなさい.(設問(3)では,適切な行列が複数個ある場合は,それらをすべて答えなさい.)

(3)  B=( 12 21 ) のとき, A2= B2 を満たす 2 次の正方行列 A をすべて求めると A= (お) である.

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2月21日実施

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【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.

  a b を正の実数, m を実数, k を負の実数とする. xy 平面上の C: x 2a2 +y 2b2 =1 と直線 l: y=m x+k が異なる 2 P Q で交わるための必要十分条件は k> - (あ) であり,このとき PQ= 2 ab (い) (あ) である.さらに,点 P Q を固定して点 R を楕円 C 上で動かすときの PQR の面積の最大値を A とすると A= 12 PQ × (う) である.次に, m を固定して k を動かすとき, A が最大となる k の値は (え) であり,その最大値は (お) である.

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【3】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(3)に答えなさい.

 正方形の 4 つの頂点に A1 A2 A3 A4 の順に反時計回りに名前をつける. A1 A2 上には表を上にした硬貨を 1 枚ずつ置き, A3 A4 上には裏を上にした硬貨を 1 枚ずつ置く.いま次の操作 T を何回か繰り返し行う.

操作 T

4 つの頂点のどれかを確率 14 ずつで選ぶ.選ばれた頂点を Ai i= 1 2 3 4 とするとき,辺に沿って Ai 上の硬貨と並んでいる硬貨 2 枚のうち Ai 上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数を k とする.次に, Ai 上の硬貨を確率 k3 でひっくり返し,確率 1- k3 でそのままにしておく.

 以下, n を自然数とする.操作 T n 回繰り返し行った結果,表を上にした硬貨がちょうど 1 枚だけある確率を p n ちょうど 2 枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率を qn ちょうど 2 枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率を r n ちょうど 3 枚だけある確率を sn とする.

(1)  p1= (あ) q1 = (い) r1= (う) s1 = (え) である.

(2)  n2 のとき, pn qn rr sn p n-1 qn -1 rn- 1 s n-1 の関係を 4 次の正方行列を用いて表すと

( pn qn r n sn ) =( (お) (か) 13 0 (き) (く) 0 16 (け) (こ) 13 0 0 (さ) 1 3 (し) ) ( s n-1 q n-1 r n-1 s n-1 )

である.これより任意の n に対して rn を求めると r n= (す) である.

(3) 任意の n に対して pn =sn であることを示しなさい.

(4) 任意の n に対して 2 pn +qn -2 pn+ qn をそれぞれ求めると 2 pn +qn = (せ) -2 pn +qn = (そ) である.これより p n= 12 2 ( (せ) - (そ) ) qn = 12 ( (せ) + (そ) ) である.

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2月21日実施

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【4】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(2),(3)に答えなさい.

 平面上を運動する点 P の,時刻 t における座標 (x, y)

x=f (t)= cos2 t+t sin2 t y=g (t)= sin2 t-t cos2 t

と表されているとする.

(1) 点 P の時刻 t における加速度ベクトル α を求めると α = ( (あ) , (い) ) である.

(2) 時刻 t (ただし t 0 )における点 P を通り,その時刻における加速度ベクトル α に平行な直線を l とするとき, l は必ず原点を中心とする半径 1 の円 C に接することを示しなさい.その接点 Q の座標は ( (う) , (え) ) である.

(3)  f(t ) は区間 0 t π2 で減少することを示しなさい.

(4)  t π4 から π2 まで変化するとき線分 PQ が動いてできる図形の面積 S を求めると S= (お) である.

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