Mathematics
Examination
Test
Archives
【3】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(3)に答えなさい.
正方形のつの頂点にの順に反時計回りに名前をつける.上には表を上にした硬貨を枚ずつ置き,上には裏を上にした硬貨を枚ずつ置く.いま次の操作を何回か繰り返し行う.
操作
つの頂点のどれかを確率ずつで選ぶ.選ばれた頂点をとするとき,辺に沿って上の硬貨と並んでいる硬貨枚のうち上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数をとする.次に,上の硬貨を確率でひっくり返し,確率でそのままにしておく.
以下,を自然数とする.操作を回繰り返し行った結果,表を上にした硬貨がちょうど枚だけある確率をちょうど枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率をちょうど枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率をちょうど枚だけある確率をとする.
(1) である.
(2) のとき,との関係を次の正方行列を用いて表すと
である.これより任意のに対してを求めるとである.
(3) 任意のに対してであることを示しなさい.
(4) 任意のに対してとをそれぞれ求めるとである.これよりである.