2009　上智大学　経済学部2月10日実施MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}\text{，}$その面積を$S$と表す．$a=8\text{，}b\geqq c\text{，}$外接円の半径を$5$とする．

(1)　$\sin A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}bc$である．

(2)　$\angle \mathrm{A}=90°$ならば${(b+c)}^2=\boxed{\text{オ}}S+\boxed{\text{カ}}$であり，$\angle \mathrm{A}=90°$ならば${(b+c)}^2=\boxed{\text{キ}}S+\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　$S=4$とする．$\angle \mathrm{A}>90°$ならば

$b=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\text{，}c=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

である．$\angle \mathrm{A}=90°$ならば三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．

(4)　$c=5$とする．$b\geqq c$より$b=\boxed{\text{セ}}+\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$で，$S=\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【２】　次の$4$つの不等式で表される座標平面上の領域を$D$とする．

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y\leqq 3\text{，}x-y\leqq 1$

　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき

$z={\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{y}^2-xy+3x+12y$

の最大値を考える．

(1)　$c$を$0\leqq c\leqq 3$をみたす定数とする．$y=c$としたとき，$z$の最大値を$f(c)$とする．

　$0\leqq c\leqq \boxed{\text{ト}}$ならば

$f(c)={\displaystyle \frac{1}{3}}{c}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{2}}{c}^2+\boxed{\text{ニ}}c+\boxed{\text{ヌ}}\text{，}$

　$\boxed{\text{ト}}\leqq c\leqq 3$ならば

$f(c)={\displaystyle \frac{1}{3}}{c}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{2}}{c}^2+\boxed{\text{ノ}}c+\boxed{\text{ハ}}$

である．

(2)　$c$が$0\leqq c\leqq \boxed{\text{ト}}$を動くとき$f(c)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$であり，$c$が$\boxed{\text{ト}}\leqq c\leqq 3$を動くとき$f(c)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

(3)　以上より点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$z$は$(x,y)=(\boxed{\text{マ}},\boxed{\text{ミ}})$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$をとる．

【３】　座標平面上の原点に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$はさいころを投げて出た目の数が偶数ならその目の数だけ$x$軸方向の正の向きに移動し，奇数ならその目の数だけ$y$軸方向の正の向きに移動する．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$xy>10$の表す領域にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．

(2)　さいころを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$x^2+y^2>25$の表す領域にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．

(3)　さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$x+y=10$の表す直線上にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．

(4)　さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}$の移動した経路が$y\leqq x$の表す領域にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$である．