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2009-13363-0901
2009 上智大学 理工学部A方式
2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 極限値 limn→ ∞ (1+ 1n ) n は自然対数の底 e であり,その近似値は 2.7182 ⋯ であることが知られている.ここでは, e≦3 であることを次の手順で示そう.
(1) 自然数 k に対して, 2k -1≦ k! であることを示せ.
(2) (1+ 1 n) n を二項定理を用いて展開することにより,
limn →∞ (1 +1 n) n≦3
であることを示せ.
2009-13363-0902
【2】 任意の実数 x に対して, x を越えない最大の整数を [ x] で表し, {x }=x -[x ] とおく.このとき, 0≦{ x}< 1 が成り立つ.
実数 x に関する次の 2 つの条件
x3- 4⁢[ x]= 5(A) [x ]⁢{ x}< x-1 (B)
を同時にみたす x を求めたい.
方程式(A)を解くために, y=x 3-4 ⁢x とおく. 0≦4 ⁢{x }<4 なので, x が(A)をみたすとき y =x3 -4⁢x は 1 <y≦5 をみたす.
(1) 3 次関数 y =x3 -4⁢x の値が 1 <y≦5 の範囲にあるとき, [x ] の取り得る値は ア , イ , ウ である.ただし, ア < イ < ウ である.
(2) 方程式(A)の解のうち最も小さいものは x = エ 3 である.
(3) 不等式(B)が成り立つための必要十分条件は [ x]> オ であり,従ってこの不等式の解は x ≧ カ である.
(4) 以上より,(A),(B)を同時にみたす解は x = キ 3 である.
2009-13363-0903
【3】 右図のような 1 辺の長さが 3 の立方体 ABCD ‐EFGH がある. AB→ =a→ , AD→ =b→ , AE→ =c→ とする.対角線 EC を 1 :3 に内分する点を P とし,直線 HP と面 ABFE の交点を Q とする.
(1) HP→ = ク ケ ⁢ a →+ コ サ ⁢ b→+ シ ス ⁢ c → である.
(2) HQ→ = セ ソ ⁢ HP → である.
(3) AQ→ = タ チ ⁢ a→+ ツ ⁢ b→+ テ ト ⁢ c→ である.
(4) QC→ ⋅QH →= ナ である.
2009-13363-0904
【4】 xyz 空間において,不等式
x2 +y2 ≦1 ,0≦ z≦1
によって定まる円柱を K とする. 2 点 ( 0,-1 ,0) ,( 0,1, 1) を通り y z 平面に垂直な平面を α , 2 点 ( 0,1, 0) ,( 0,-1 ,1) を通り y z 平面に垂直な平面を β とする. 2 つの平面 α , β および x y 平面で囲まれた円柱 K の部分を L とする.
(1) xy 平面と平面 α で囲まれた円柱 K の部分の体積は ニ ヌ ⁢ π である.
(2) 平面 y =t ( 0≦t≦ 1 ) による立体 L の断面の面積は
( ネ + ノ ⁢ t )⁢ ハ + ヒ ⁢ t 2
である.
(3) 立体 L の体積は
フ ヘ ⁢ π+ ホ マ