2009 上智大学 理工学部A方式2月10日実施MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2009 上智大学 理工学部A方式

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【1】 極限値 limn (1+ 1n ) n は自然対数の底 e であり,その近似値は 2.7182 であることが知られている.ここでは, e3 であることを次の手順で示そう.

(1) 自然数 k に対して, 2k -1 k! であることを示せ.

(2)  (1+ 1 n) n を二項定理を用いて展開することにより,

limn (1 +1 n) n3

であることを示せ.

2009 上智大学 理工学部A方式

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【2】 任意の実数 x に対して, x を越えない最大の整数を [ x] で表し, {x }=x -[x ] とおく.このとき, 0{ x}< 1 が成り立つ.

実数 x に関する次の 2 つの条件

x3- 4[ x]= 5(A) [x ]{ x}< x-1 (B)

を同時にみたす x を求めたい.

方程式(A)を解くために, y=x 3-4 x とおく. 04 {x }<4 なので, x が(A)をみたすとき y =x3 -4x 1 <y5 をみたす.

(1)  3 次関数 y =x3 -4x の値が 1 <y5 の範囲にあるとき, [x ] の取り得る値は である.ただし, < < である.

(2) 方程式(A)の解のうち最も小さいものは x = 3 である.

(3) 不等式(B)が成り立つための必要十分条件は [ x]> であり,従ってこの不等式の解は x である.

(4) 以上より,(A),(B)を同時にみたす解は x = 3 である.

2009 上智大学 理工学部A方式

2月10日実施

易□ 並□ 難□

2009年上智大理工学部A方式【3】の図

【3】 右図のような 1 辺の長さが 3 の立方体 ABCD EFGH がある. AB =a AD =b AE =c とする.対角線 EC 1 :3 に内分する点を P とし,直線 HP と面 ABFE の交点を Q とする.

(1)  HP = a + b+ c である.

(2)  HQ = HP である.

(3)  AQ = a+ b+ c である.

(4)  QC QH = である.



2009 上智大学 理工学部A方式

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【4】  xyz 空間において,不等式

x2 +y2 1 0 z1

によって定まる円柱を K とする. 2 ( 0,-1 ,0) ( 0,1, 1) を通り y z 平面に垂直な平面を α 2 ( 0,1, 0) ( 0,-1 ,1) を通り y z 平面に垂直な平面を β とする. 2 つの平面 α β および x y 平面で囲まれた円柱 K の部分を L とする.

(1)  xy 平面と平面 α で囲まれた円柱 K の部分の体積は π である.

(2) 平面 y =t 0t 1 による立体 L の断面の面積は

( + t ) + t 2

である.

(3) 立体 L の体積は

π+

である.

inserted by FC2 system