2009　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　自然数$n$に対して，$0$以上$n$以下の整数の中から同じ数をとることも許して$2$つの数を無作為に選んだとき，$2$つの数の差の絶対値が${\displaystyle \frac{n}{2}}$以下となる確率を$p_n$とする．このとき，$p_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}$であり，$p_{11}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$となる．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(2,-3,1)\text{，}\mathrm{B}(-3,1,2)$がある．

${|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}^2=70$

を満たす点$\mathrm{P}(x,y,z)$の軌跡は，

中心$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}},-\boxed{\text{ス}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{2}}$

の球面である．さらに点$\mathrm{P}$が

${|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}^2$

を満たすとき，$\cos \angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，$▵\mathrm{APB}$の面積は$\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　自然数$n$に対して，$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ

$a_n=9^{n-1}\text{，}{b}_n=7^{n-1}$

で定める．このとき，$a_n$を$a_1$で割った余りが$a_1$と等しくなるような，$1$より大きな自然数で最小の$n$は$\boxed{\text{ニ}}$である．同様に，$b_n$を$10$で割った余りが$b_1$と等しくなるような，$1$より大きな自然数で最小の$n$は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

　また，$a_{21}$を$10$で割った余りは$\boxed{\text{ネ}}$であり，$b_{31}$を$10$で割った余りは$\boxed{\text{ノ}}$である．したがって，$a_{21}{b}_{31}$を$10$で割った余りは$\boxed{\text{ハ}}$となる．

　さらに，不等式

$a_n{b}_n<{10}^{20}$

を満たす最大の自然数$n$は$\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}$である．このときの$a_n{b}_n$を$10$で割った余りは$\boxed{\text{ヘ}}$である．ただし，

$0.477<{\log }_{10}3<0.478\text{，}0.845<{\log }_{10}7<0.846$

という関係を用いてもよい．

【２】　$2$次関数$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x$に対して，微分可能な関数$f(x)$が

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{g}^{\prime }(t)f(t)dt-g(x)$

を満たしているものとする．ただし，$g^{\prime }(x)$は$g(x)$の導関数である．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を，$f(x)$と$g^{\prime }(x)$を用いて表しなさい．

(2)　関数

$h(x)=e^{-g(x)}(f(x)-1)$

は定数となることを示しなさい．また，その値を求め，これより，$f(x)$を$g(x)$を用いて表しなさい．

(3)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$を求めなさい．

(4)　正の実数$x$に対して，不等式

$f(x)<-g(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\{g(x)\}}^2$

が成りたつことを示しなさい．

【３】　自然数$n$に対して，$I_n$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \frac{x^{4n-2}}{1-x^4}}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対して$I_n-I_{n+1}$を求めなさい．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$

を$x=\tan t$とおいて求めなさい．次に定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}dx$

を求め，これらから$I_1$を求めなさい．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たす実数$x$に対して，

$1\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-x^4}}\leqq a$

となる最小の数$a$を求め，この不等式を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めなさい．

(4)　これらの結果を用いて，次の無限級数の和を求めなさい．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{(4n-1)9^n}}=\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{(4n-1)9^n}}$