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2009-13442-0301
2009 東京理科大学 理工学部B方式
物理,生命科,経営工学科
2月5日実施
(2)〜(4)と合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から ヤ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) xy 平面において, x 軸,直線 y= x+2 , さらに放物線 y= x2 の右半分( x≧ 0 の範囲にある放物線の部分)の 3 つで囲まれた図形を, x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積は
ア イ ウ エ オ ⁢π
であり, y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積は
カ キ ク ⁢π
である.
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(1),(3),(4)と合わせて配点40点
(2) a を正の定数とする. t>1 に対し,関数 f⁡ (t) を
f⁡(t )= ∫1t ⁡ a+2- (a 2+6⁢ a+11) ⁢log⁡ xx ⁢dx
と定める.ただし,対数は自然対数を表す.このとき f⁡ (x) は
log⁡t= a + ケ a2 +6⁢a +11
を満たす t で最大値
1 コ ⁢ ( a+ ケ ) サ a2 +6⁢a +11
をとる.また, f⁡(t ) が log⁡ t= 213 を満たす t で最大値をとるのは
a= シ + ス セ ソ
のときであり,その最大値は
タ + ス セ チ ツ
となる.
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(1),(2),(4)と合わせて配点40点
(3) (a+ b+c) 5 を展開して整理したとき,項の数は テ ト で, a2⁢ b2⁢ c の係数は ナ ニ である.また ( x+ 1x+ 2) 5 を展開して整理したときの x3 の係数は ヌ ネ で,定数項は ノ ハ ヒ である.
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(1)〜(3)と合わせて配点40点
(4) a を 0≦ a<2⁢ π を満たす実数とし, A ,E ,O を次の 2× 2 行列とする.
A=( cos ⁡a -cos⁡ a 2 2⁢π sin⁡a sin⁡ a2 2⁢ π ), E= ( 10 0 1) ,O= (0 0 00 )
ある実数 b に対して A2 +b⁢ A+ 32 ⁢E= O を満たすような a は全部で 4 個ある.これらを小さい方から順に a 1, a2 , a3 , a4 とすると,
a1= フ ヘ - ホ 3 ⁢π ,a4 = マ ミ - ム 3 ⁢π
(a3 -a2 )⁢(a 3+a 2+2⁢ π)= メ モ ヤ ⁢π2
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30点
【2】 次の条件を満たす x の整式 f⁡ (x) を考える.
f⁡(x ) に x= t2 を代入して得られる t の整式
g⁡(t )=f⁡ (t2 )
はある定数 p に対し,次の関係式(*)を満たす.
12⁢t 3⁢g ⁡(t) -(2⁢ t4+ 2⁢p⁢ t2- 1)⁢g ′⁡( t)-( 2⁢t2 +1)⁢ tg″ ⁡(t )=0 (*)
ただし, g′⁡ (t) ,g″ ⁡(t ) はそれぞれ g⁡ (t) の第 1 次,第 2 次導関数を表す.
(1) g′ ⁡(t) を f′ ⁡(t 2) ,g″ ⁡(t ) を f′ ⁡(t 2) と f ″⁡ (t2 ) を用いて表しなさい.ただし, f′ ⁡( t2 ), f″ ⁡( t2 ) はそれぞれ f⁡ (x) の第 1 次,第 2 次導関数 f ′⁡ (x) ,f ″⁡ (x) に x= t2 を代入した関数である.
(2) (1)を用いて,関係式(*)を f⁡ (x) ,f′ ⁡(x ), f″⁡ (x) の関係式に書き直しなさい.
(3) f⁡(x ) を 0 でない整式とすると f⁡ (x) の次数は, p の値によらず, 3 となることを示しなさい.
(4) p=-3 かつ f⁡ (-1) =4 のとき,整式 f⁡ (x) を求めなさい.
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【3】 t>0 に対して, xy 平面の曲線 y= - 1x 上の 2 点 P (t ,- 1t ), Q( -t, 1t ) をとる.点 Q における曲線 y= - 1x の接線を l とし,直線 l と曲線 y= 1 x との交点を右の図のように S1 , S2 とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 2 点 S1 , S2 の座標を t を用いて表しなさい.
(2) ベクトル P S1 → と P S2 → の内積を t を用いて表しなさい.
(3) ▵S1 PS2 の面積を求め, t によらないことを確かめなさい.
(4) ∠S1 PS2 =θ とおく.このとき, cos⁡θ を t を用いて表しなさい.また, t が正の数全体を動くとき, cos⁡θ の最小値と,それを与える t の値を求めなさい.