2009 東京理科大学 理工学部B方式2月6日実施MathJax

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2009 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(2)〜(4)と合わせて配点40点,

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(1) 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える. a =OA b =OB c =OC とするとき,それぞれの内積は,

a b =a c = b c =

である.いま,辺 OA t:1 -t 0 <t<1 に内分する点を P とし,辺 BC s: 1-s 0< s<1 に内分する点を Q とする.ベクトル PQ BC が垂直になるのは s= のときである.このとき,線分 PQ 3: 2 に内分する点を R とすると,

OR = t a + b + c

であり,

OR PQ =- 120 ( t 2+ t - )

となる.よって t= - + のとき, OR PQ は垂直になる.

2009 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(3),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(2) 行列 X A E

X=( a bc d ) A=( - 2-5 10 -7 ) E=( 1 0 01 )

で定める.また,一般に行列 M= (p q r s ) に対し, T (M)= p+s とおく.例えば, T(X )=a+ d T (A)= -9 T (E) =2 である.

 上の A に対し, X3= A となる X について考える.以下, X

ad- bc= 4

を満たすものとする. t=T (X) とおくと,

X2= tX- E

であるので,

X3= (t2 - )X - t E

が成り立つ. X3= A であることから

T(A )=T (X3 )=( t3- ) T(X )- t T( E)

となるので,

t3- t =-

である.これを解くと, t= - ± 2 となる.特に t= のときは

X=( - )

である.

2009 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(2),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(3) 関数 f (x)= x2 +8+ x3 に対し, g(x )=f (x)- f(- x) とおく.このとき,

{f (x)} 3-{ f(- x)}3 = x

f(x )f (-x) =

となる.これより

{g (x)} 3=- g (x) + x

が成り立つ.特に x= 10 とすると, g(10 )= となる.

 また,

h(x )= x18- logf (x)

とすると, h(x ) x= において極小値をとる.ただし,対数は自然対数である.

2009 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

2009年東京理科大理工学部B方式2月6日実施【2】の図

【2】 図のような長方形の紙 ABCD がある.辺 AB の長さを 1 AD の長さを a として, a>1 を満たすものとする.辺 AB 上の点 P と辺 AD 上の点 Q をとり線分 PQ で紙を折って頂点 A が辺 BC 上に乗るようにする.このとき AP= x AQ=y とおき,以下の問いに答えなさい.

(1)  y と線分 PQ の長さを,それぞれ x を用いて表しなさい.

(2)  x のとり得る値の範囲は b x1 である. b を求めなさい.

(3)  x が(2)で求めた範囲を動くとき,線分 PQ の長さが最小となる点 P Q を考える.このときの点 Q が点 D と異なるための a の条件を求めなさい.

2009 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x)= e-x sin x を考える.ここで, e は自然対数の底である. xy 平面において, k=0 1 2 に対し, kπ x( k+1) π の範囲で,曲線 y= f(x ) x 軸で囲まれる図形の面積を A k とおく.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 定数 a b に対して,

g(x )=e -x (a sinx+ bcos x)

とするとき, g(x ) の導関数 g (x ) に対して g (x) =f( x) が成り立つように a b を定めなさい.

(2)  k=0 1 2 に対し A k+1 Ak を用いて表しなさい.

(3) 無限級数 k =0 A k の和を求めなさい.

(4)  xy 平面において,自然数 n に対し, 0x nπ の範囲で,曲線 y= f(x ) x 軸で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を Vn とおく.このとき, limn Vn を求めなさい.

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