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2009-13442-0401
2009 東京理科大学 理工学部B方式
数,建築,電気電子情報学科
2月6日実施
(2)〜(4)と合わせて配点40点,
数学科は60点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から リ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える. a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とするとき,それぞれの内積は,
a→ ⋅b→ =a→ ⋅c →= b→⋅ c→ = ア イ
である.いま,辺 OA を t:1 -t (0 <t<1 ) に内分する点を P とし,辺 BC を s: 1-s ( 0< s<1 ) に内分する点を Q とする.ベクトル PQ→ と BC→ が垂直になるのは s= ウ エ のときである.このとき,線分 PQ を 3: 2 に内分する点を R とすると,
OR→ = オ カ ⁢t⁢ a→ + キ ク ケ ⁢b→ + コ サ シ ⁢ c→
であり,
OR→ ⋅PQ→ =- 120⁢ ( ス ⁢t 2+ セ ⁢t - ソ )
となる.よって t= - タ + チ ツ テ のとき, OR→ と PQ → は垂直になる.
2009-13442-0402
(1),(3),(4)と合わせて配点40点
(2) 行列 X ,A ,E を
X=( a bc d ), A=( - 2-5 10 -7 ), E=( 1 0 01 )
で定める.また,一般に行列 M= (p q r s ) に対し, T⁡ (M)= p+s とおく.例えば, T⁡(X )=a+ d ,T⁡ (A)= -9 ,T ⁡(E) =2 である.
上の A に対し, X3= A となる X について考える.以下, X は
a⁢d- b⁢c= 4
を満たすものとする. t=T⁡ (X) とおくと,
X2= t⁢X- ト ⁢ E
であるので,
X3= (t2 - ナ )⁢X - ニ ⁢t ⁢E
が成り立つ. X3= A であることから
T⁡(A )=T⁡ (X3 )=( t3- ナ )⁢ T⁡(X )- ニ ⁢t ⁢T⁡( E)
となるので,
t3- ヌ ネ ⁢ t =- ノ
である.これを解くと, t= ハ , - ヒ ± フ ヘ 2 となる.特に t= ハ のときは
X=( ホ - マ ミ ム )
である.
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(1),(2),(4)と合わせて配点40点
(3) 関数 f⁡ (x)= x2 +8+ x3 に対し, g⁡(x )=f⁡ (x)- f⁡(- x) とおく.このとき,
{f⁡ (x)} 3-{ f⁡(- x)}3 = メ ⁢x
f⁡(x )⁢f⁡ (-x) = モ
となる.これより
{g⁡ (x)} 3=- ヤ ⁢g ⁡(x) + ユ ⁢x
が成り立つ.特に x= 10 とすると, g⁡(10 )= ヨ となる.
また,
h⁡(x )= x18- log⁡f⁡ (x)
とすると, h⁡(x ) は x= ラ ⁢ リ において極小値をとる.ただし,対数は自然対数である.
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30点,数学科は45点
【2】 図のような長方形の紙 ABCD がある.辺 AB の長さを 1 , 辺 AD の長さを a として, a>1 を満たすものとする.辺 AB 上の点 P と辺 AD 上の点 Q をとり線分 PQ で紙を折って頂点 A が辺 BC 上に乗るようにする.このとき AP= x, AQ=y とおき,以下の問いに答えなさい.
(1) y と線分 PQ の長さを,それぞれ x を用いて表しなさい.
(2) x のとり得る値の範囲は b≦ x≦1 である. b を求めなさい.
(3) x が(2)で求めた範囲を動くとき,線分 PQ の長さが最小となる点 P , Q を考える.このときの点 Q が点 D と異なるための a の条件を求めなさい.
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【3】 関数 f⁡ (x)= e-x ⁢sin⁡ x を考える.ここで, e は自然対数の底である. xy 平面において, k=0 ,1 , 2 ,⋯ に対し, k⁢π ≦x≦( k+1) ⁢π の範囲で,曲線 y= f⁡(x ) と x 軸で囲まれる図形の面積を A k とおく.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 定数 a ,b に対して,
g⁡(x )=e -x ⁢(a⁢ sin⁡x+ b⁢cos⁡ x)
とするとき, g⁡(x ) の導関数 g′ ⁡(x ) に対して g′ ⁡(x) =f⁡( x) が成り立つように a ,b を定めなさい.
(2) k=0 ,1 ,2 ,⋯ に対し A k+1 を Ak を用いて表しなさい.
(3) 無限級数 ∑k =0∞ ⁡A k の和を求めなさい.
(4) xy 平面において,自然数 n に対し, 0≦x≦ n⁢π の範囲で,曲線 y= f⁡(x ) と x 軸で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を Vn とおく.このとき, limn →∞ ⁡Vn を求めなさい.