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【3】 平面上に放物線がある.ただし,は正の定数である.上の点で,原点からの距離が最小になるような点を考える.
(1)(ⅰ) そのような点がただつ存在するためには,であることが必要十分であり,そのとき,そのような点の座標はとなる.
(ⅱ) そのような点がちょうどつ存在するためには,
(*)
であることが必要十分であり,そのとき,そのような点の座標は
となる.
定数が(*)の範囲にあるとき,原点からの距離が最小になるような上のつの点におけるの接線をとする.ととで囲まれた部分の面積をとおく.また,と軸とで囲まれた部分の面積をとおく.
(2) 例えばのとき,
である.
(3) が(*)の範囲を動くとき,が取りうる値の範囲は
である.
【4】 とおくとき,任意の自然数に対して,の式はの多項式として表される.この多項式をとおく.ただし,は定数である.また,多項式の定数項をとおく.
(1) はの次式であり,例えば,
となる.
(2) に対して,を,とを用いて表すと,例えば
となる.
(3) となるようなの値は個ある.のとき,となる.
数列が,ある自然数に対してを満たすとき,は周期数列であるといい,そのようなの最小の数を周期とよぶことにする.
(4)(ⅰ) のとき,は周期がの周期数列であり,例えば
となる.
(ⅱ) のとき,は周期がの周期数列であり,例えば
となる.
(ⅲ) のとき,は周期がの周期数列であり,例えば
となる.