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2009 東京理科大学 薬学部B方式

薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x) g( x) をそれぞれ f (x)= log3 x g(x )=3x とする.

(1)(ⅰ)  f(a +1)= f(a )+1 を満たす a の値は である.

(ⅱ)  f(2 a)> 2f (a) を満たす a の値の範囲は <a< である.

(ⅲ)  f(a 2)> {f ( a) }2 を満たす a の値の範囲は <a< である.

(2)(ⅰ)  g(b +1)= g(b )+1 を満たす b の値は -f( ) となる.

(ⅱ)  g(4 b)< 4g (b) を満たす b の値の範囲は b< f(2 ) となる.

(ⅲ)  g(2 b) kg (b)- k-3 がすべての実数 b に対して成り立つような実数 k の値の範囲は - k である.

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薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x)= x3+ px2 +qx (ただし p q は定数)は, x=- 12 x=0 で極値をとるという.

(1)(ⅰ)  p= q = である.

(ⅱ)  f(x ) の極大値は 極小値は である.



 そのとき,さらに関数 g (t)= cos3 t+a cos2 t+b cost+ c (ただし a b c は定数)があって,等式 g (t)= 4f (cost )-a+ c が成り立つという.

(2)(ⅰ)  a= b = である.

(ⅱ) 方程式 g (t)= 0 が,少なくとも 1 つの実数解をもつような定数 c の値の範囲は

- c

である.

(ⅲ) 方程式 g (t)= 0 が,区間 0 tπ に異なる 3 つの実数解をもつような定数 c の値の範囲は

<c<

である.

2009 東京理科大学 薬学部B方式

薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上に放物線 C:y =ax 2-3 がある.ただし, a は正の定数である. C 上の点で,原点からの距離が最小になるような点を考える.

(1)(ⅰ) そのような点がただ 1 つ存在するためには, 0<a であることが必要十分であり,そのとき,そのような点の座標は ( ,- ) となる.

(ⅱ) そのような点がちょうど 2 つ存在するためには,

a> (*)

であることが必要十分であり,そのとき,そのような点の x 座標は

± 12 a a -

となる.



 定数 a が(*)の範囲にあるとき,原点からの距離が最小になるような C 上の 2 つの点における C の接線を l 1 l2 とする. C l 1 l2 とで囲まれた部分の面積を S1 とおく.また, C x 軸とで囲まれた部分の面積を S2 とおく.

(2) 例えば a=1 のとき,

S1= S2=

である.

(3)  a が(*)の範囲を動くとき, S 1S2 が取りうる値の範囲は

< S 1S2 <

である.

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薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【4】  x+ 1x+ a=t とおくとき,任意の自然数 n に対して, x の式 x n+ 1xn +a t の多項式として表される.この多項式を f n( t) とおく.ただし, a は定数である.また,多項式 f n( t) の定数項を cn とおく.

(1)  f2 (t) t 2 次式であり,例えば,

となる.

(2)  n2 に対して, cn+ 1 を, cn c n-1 を用いて表すと,例えば

となる.

(3)  cn+ 1= cn n =1 2 3 となるような a の値は 個ある. a=- のとき, cn= 0 n=1 2 3 となる.



 数列 {cn } が,ある自然数 d に対して c n+d =cn n =1 2 3 を満たすとき, {c n} は周期数列であるといい,そのような d の最小の数を周期とよぶことにする.

(4)(ⅰ)  a=2 のとき, {cn } は周期が の周期数列であり,例えば

c100= c101 = c102=

となる.

(ⅱ)  a=1 のとき, {cn } は周期が の周期数列であり,例えば

c100= c101 = c 102=

となる.

(ⅲ)  a=-1 のとき, {cn } は周期が の周期数列であり,例えば

c100=- c101 = c102=

となる.

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