2009　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　座標平面において連立不等式

$y<x+3\text{，}y>0\text{，}x<2$

の表す領域$D$と放物線$C:y=x^2-2ax+2a^2-a$（$a$は実数の定数とする）について考える．放物線$C$の頂点が領域$D$内にあるとき以下の問いに答えなさい．

(a)　$a$の取りうる値の範囲は

$-\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}<a<\boxed{\text{エ}}$

である．

(b)　直線$y=x+3$と放物線$C$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\sqrt{6}$に等しくなるのは

$a=\boxed{\text{オ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}$

のときである．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　$\cos 55°\cos 65°+\cos 65°\cos 175°+\cos 55°\cos 175°=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(b)　$\sin \alpha +\sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}\cos \alpha +\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，

$\cos (\alpha -\beta )=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}}\text{，}\cos (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　以下のような数列$\{a_n\}$を考える．

　$a_1=2\text{，}{a}_2=4$とし，$n$が$3$以上の自然数のときは，$a_{n-1}\cdot a_{n-2}$を$5$で割った余りを$c$として，$c$を用いて

$a_n=c$

とする．

(a)　$n\geqq 3$で初めて$a_n=4$となる$n$は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}=\boxed{\text{イ}}$である．

(c)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}}$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　座標平面について考える．

(a)　原点の周りの$15°$の回転移動を表す行列を求めなさい．

(b)　原点を通り，$x$軸の正の向きとなす角が$15°$である直線$l$に関して点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は対称であるとする．点$\mathrm{P}$の座標が$(1,2)$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)(a)　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}a$を正の整数とするとき，

$175x=1323y=5832z=a^2$

を満たす最小の$a$の値を求めなさい．

(b)　${\displaystyle \frac{m}{175}}\text{，}{\displaystyle \frac{m^2}{1323}}\text{，}{\displaystyle \frac{m^3}{5832}}$がすべて整数となるような正の整数$m$のうち，最小のものを求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,1,0)$をとり，$\angle \mathrm{COA}=60°\text{，}\angle \mathrm{COB}=45°$となるように，点$\mathrm{C}(x,y,1)$をとる．点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$l$とし，直線$l$上に点$\mathrm{D}$をとる．

(1)　$x\text{，}y$を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{D}$が直線$l$上を動くとき，線分$\mathrm{AD}$の長さが最も短くなるような点$\mathrm{D}$の座標，およびそのときの長さ$\mathrm{AD}$を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{D}$が直線$l$上を動くとき，三角形$\mathrm{ABD}$の面積が最も小さくなるような点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．