2009　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　右図のように半径$1\text{，}$中心角$\angle \mathrm{POS}=60°$の扇形$\mathrm{OSP}$の円弧$\mathrm{SP}$上に点$\mathrm{A}$をとる．点$\mathrm{A}$に対して，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形になるように，線分$\mathrm{OP}$上に点$\mathrm{B}$を，線分$\mathrm{OS}$上に点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をとる．

(a)　$\angle \mathrm{AOS}=45°$のとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}-\frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(b)　点$\mathrm{A}$が円弧$\mathrm{SP}$上を動くとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　$n$次の整式

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\text{（}{a}_n\ne 0\text{）}$

を考える．

(a)　$n=3$のとき，

• $\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}}=-4$
• $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x+1}}=12$

となるような整式$f(x)$は，

$f(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^3-\boxed{\text{イ}}{x}^2-\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$

である．

(b)　

• $\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}}=-4$
• $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x+1}}=12$
• $\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}}=42$

となるような整式$f(x)$のうち，次数の最も低いものは，$n=\boxed{\text{オ}}\text{，}{a}_n=\boxed{\text{カ}}\text{，}{a}_0=-\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　右図のような$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．硬貨を投げて，表ならば時計まわりに，裏ならば反時計まわりに$1$だけこの正五角形の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．

(a)　頂点$\mathrm{A}$を出発点として硬貨を$k$回投げた結果，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$にくる確率を$p_k$とすると

$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{p}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{p}_6={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$

である．

(b)　頂点$\mathrm{A}$を出発点として硬貨を$k$回投げた結果，点$\mathrm{P}$が初めて点$\mathrm{C}$にくる確率を$q_k$とすると

$q_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}{q}_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}\text{，}{q}_9={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　媒介変数表示

$x=1-\cos \theta \text{，}y=\theta -\sin \theta$

によって定められる$x$と$y$について，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\text{，}{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$を$\theta$で表しなさい．　

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$0<t<4$において，

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^4}|\sqrt{x}-\sqrt{t}|dx$

を最小にする$t$の値，およびそのときの$f(t)$の値を求めなさい．

【３】　座標平面上の楕円$E:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を考える．$p$を実数とし，点$\mathrm{P}(4,p)$から楕円$E$へ引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また，$\angle \mathrm{APB}=\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．

(1)　$2$本の接線の傾きを$p$で表しなさい．

(2)　$p=1$のとき，$\tan \theta$の値を求めなさい．

(3)　$p$を用いて$\tan \theta$を表しなさい．

(4)　$p$を$p\geqq 0$の範囲で動かすとき，$\theta$が最大となるときの$p$およびそのときの$\tan \theta$の値を求めなさい．