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2009-13442-0801
2009 東京理科大学 基礎工学部B方式
2月10日実施
16点
易□ 並□ 難□
【1】(1) A=( 1- 3 31 ) とおく.すると, A2 ,A3 は
A2= (- ア - イ ⁢ ウ エ ⁢ オ - カ ) ,A 3=( - キ ク ケ - コ )
である.また, A6 は
A6= ( サシ ス セ ソタ )
である.
(2) a ,b を実数とし, B=( a-b b a) とおく. B2 =( 03 -3 0 ) を満たすならば, a= チ ツ , b=- テ ト , または, a=- ナ ニ , b= ヌ ネ である.
2009-13442-0802
18点
【2】 平面上に AD⫽ BC である台形 ABCD があり,辺 AD と辺 BC の長さの比が AD: BC=3: 5 であるとする.辺 AB を 1: 2 に内分する点を E , 辺 DC を 3: 1 に内分する点を F とおく.
(1) ベクトル DC → をベクトル AB → ,AD→ で表すと,
DC→ =AB→ + ア イ ⁢ AD→
となる.
(2) ベクトル DF → をベクトル DC → で表すと,
DF→ = ウ エ ⁢ DC→
(3) ベクトル EF → をベクトル AB → ,AD→ で表すと,
EF→ = オ カキ ⁢ AB→ + ク ケ ⁢ AD →
(4) 線分 EF と線分 BD の交点を P とおく.すると,点 P は線分 BD を コサ : シス に内分する.
2009-13442-0803
【3】(1) 座標平面において, y=sin⁡ x のグラフと y= sin⁡ x2 のグラフの共有点で 0≦ x≦3⁢ π の範囲に存在するものは,原点以外に ア 個ある.また, 0≦x ≦30 の範囲に存在する共有点は,原点以外に イ 個ある.
(2) a を正の実数とする. y=sin⁡ x のグラフと y= a⁢x のグラフが原点以外で共有点をもつのは, a< ウ のときである. a= 130 のとき, y=sin⁡ x のグラフと y= a⁢x のグラフの共有点で x≧ 0 の範囲に存在するものは,原点以外に エ 個ある.(円周率 π の近似値が必要な場合は 3.14 として計算せよ.)
2009-13442-0804
25点
【4】 k を実数として,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )= 29⁢ x⁢e 3⁢x +k
と定める.ただし, e は自然対数の底とする.次の設問に答えよ.
(1) -1≦x ≦2 における f⁡ (x) の最大値と最小値,およびそれぞれのときの x の値を求めよ.ただし,最大値と最小値は k の式で表せ.
ここで,座標平面において,曲線 y=f ⁡(x) 上の点 (1, f⁡(1 )) における接線が原点を通るとする.その接線を l とおく.以下の設問に答えよ.
(2) 実数 k の値と直線 l の方程式を求めよ.
(3) 曲線 y= f⁡(x ) と直線 l と y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2009-13442-0805
【5】 座標平面上の円 C: x2+ y2= 9 と直線 l: y=-2 ⁢x+3 を考える.次の設問に答えよ.
(1) 円 C と直線 l の 2 つの交点の座標を求めよ.
ここで, t を実数とし,直線 l 上に点 P( t,-2⁢ t+3) をとる.以下の設問に答えよ.
(2) 点 Q( u,v) が円 C 上を動くときの線分 PQ の中点 M の軌跡 C′ を考える.ただし,もし 2 点 P ,Q が一致するならば,その一致する点を M とする.こうして得られる C′ は円となる. C′ の半径の値を求め,中心の座標を t の式で表せ.
(3) 点 P が直線 l 上を動くとき,(2)で得られた円 C′ の中心の軌跡の方程式を求めよ.
(4) 円 C と(2)で得られた円 C′ が外接するときの t の値を求めよ.