2009　東京理科大学　薬学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$2$つの正の実数$a\text{，}b$から，新しい実数を定める規則$a▵b$を，$a^3<b$ならば$a▵b={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^3$とおき，$a^3\geqq b$ならば$a▵b={\displaystyle \frac{3}{2}}ab$とおく．

(1)　$2▵9=\boxed{\text{ア}\text{イ}}$であり，$2▵7=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は曲線$y=x▵x\text{（}x>0\text{）}$上の異なる$2$点であり，これらの$2$点における接線が一致している．このとき$\mathrm{P}$の$x$座標と$\mathrm{Q}$の$x$座標は小さい順に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$であり，接線の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}x-\frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}}}$によって与えられる．

【２】　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある$\alpha$のうち，$\cos 3\alpha =\cos 4\alpha$をみたすものは，$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$である．この$\alpha$については，$\cos 4\alpha -\cos 3\alpha =0$を$\cos \alpha$によって表すことにより，$\boxed{\text{ウ}}{\cos }^4\alpha -\boxed{\text{エ}}{\cos }^3\alpha -\boxed{\text{オ}}{\cos }^2\alpha +\boxed{\text{カ}}\cos \alpha +1=0$がみたされていることがわかる．このことから方程式$8x^3+4x^2-4x-1=0$をみたす実数$x$の$1$つとして，$\cos \alpha$があることがわかる．一方で，$u=\cos \alpha \text{，}v=\cos 2\alpha \text{，}w=\cos 3\alpha$とおくと，$u+v+w=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}uv+vw+wu=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}uvw={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$がわかるので，$8x^3+4x^2-4x-1=0$をみたす実数$x$で$\cos n\alpha$の形に表せるものを$n$の小さい順に求めると，$\cos \alpha \text{，}\cos \boxed{\text{ス}}\alpha \text{，}\cos \boxed{\text{セ}}\alpha$となることがわかる．

【３】　$1$つのさいころと，そのさいころのどの面にも貼れる$1$の目のシール，$2$の目のシール，$3$の目のシールを各$1$枚用意する．このさいころを投げて，出た面に$1$の目のシールを貼る．これを$1$番目の試行という．シールが$1$枚貼られたさいころをさらに$1$回投げ，出た面に$2$の目のシールを貼る．これを$2$番目の試行という．シールが$2$枚貼られたさいころをさらに$1$回投げ，出た面に$3$の目のシールを貼る．これを$3$番目の試行という．$1$番目の試行から始め，次に$2$番目の試行を行い，$3$番目の試行を行って終了する．さいころのどの面にシールを何枚貼った場合でも，さいころの各面の出やすさに変化はないとする．

(1)　$2$番目の試行した直後のさいころに$1$から$6$までの目が$1$つずつある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(2)　$1$番目の試行をした直後か，$2$番目の試行をした直後の少なくともどちらかのさいころには$1$から$6$までの目が$1$つずつあり，かつ$3$番目の試行をした直後のさいころにも，$1$から$6$までの目が$1$つずつある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}}$である．

(3)　$1$番目の試行をした直後でも，$2$番目の試行をした直後でも，$1$から$6$までの目が$1$つずつあるさいころは得られないが，$3$番目の試行をした直後のさいころには，$1$から$6$までの目が$1$つずつある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$である．

(4)　$3$番目の試行をした直後のさいころに$1$から$6$までの目が$1$つずつある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}}$である．

【４】　関数$f(x)$と関数$g(x)$が

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}+1-x{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt\text{，}g(x)=x-{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

をみたすとする．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線で，曲線$y=g(x)$上の点$\mathrm{P}(a,g(a))$を通るものを$l_1\text{，}{l}_2$とする．これらの接線$l_1\text{，}{l}_2$および曲線$y=f(x)$によって囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．面積$S(a)$が最小になるのは$a$の値が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$のときであり，このとき$S(a)$は最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$をとる．