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2009-13442-1201
2009 東京理科大学 理学部B方式
情報数理科,応用物理,応用化学科
2月13日実施
(2),(3)と合わせて配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)から(3)において, 内のアからヒにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.
(1) a を実数の定数, t を実数とし, x の 2 次関数 f⁡ (x)= (x+ a)2 +t2 ⁢x+t 4 の最小値を g⁡ (t) とすると, g⁡( t)= ア イ ⁢t 4-a⁢ t2 である.
t が実数の範囲を動くとする. g⁡(t ) は a > ウ のとき t= ± エ ⁢ a オ で最小値 - カ キ ⁢ a2 をとり, a≦ ウ のとき t= ク で最小値 ケ をとる.
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(1),(3)と合わせて配点30点
(2) O を原点とする xy 平面上に,点 P( a,b) をとる.ただし,
a= 1tan⁡ π8 ,b =1
とする.また,点 Q の座標 (c, d) は
( cd )= ( cos⁡ 512 ⁢π- sin⁡ 512 ⁢π sin⁡ 512⁢ πcos⁡ 512 ⁢π ) ⁢( a b )
で与えられるとする.
sin⁡ 512⁢ π= コ ( サ + シ ) ス
である.また,三角形 OPQ の面積 S は
S= セ + ソ + タ + チ ツ
である.ただし, ソ < タ < チ とする.
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(1),(2)と合わせて配点30点
(3) 行列 A= (1 1 10 ) は
A⁢P= P⁢ ( α0 0 β) ,P= (q r1 1 )
を満たしているとする.ただし, α>β とする.
(a) q ,r を α ,β を用いて表すと, q= (あ) , r= (い) となる. α と β は 2 次方程式 x 2- テ⁢x - ト =0 の 2 つの解で, α= ナ+ ニ ヌ , β= ナ- ニ ヌ である.
An ( n は自然数)を α ,β ,n を用いて表すと,次のようになる.
An= 1 ネ ⁢ ( (う) (え) (お) (か) )
(b)
( a1 b1 ) =( 11 ) ,( a n+1 b n+1 )= A⁢( a n bn )( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定められる数列 {a n} ,{b n} の一般項 an , bn を α ,β ,n を用いて表すと
an= (き) ネ ,bn = (く) ネ
となる.
さらに, limn→ ∞⁡ b nan = ノ - ハ ヒ である.
(あ),(い),(う),(え),(お),(か),(き),(く)の解答群
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配点40点
【2】 xy 平面において,放物線 C: y=x2 上に 2 点 A (a ,a2 ), B( b,b 2) をとる.ただし, a<0< b とする.点 A , B における C の接線をそれぞれ l ,m とし,それらの交点を P (p, q) とする.次の問いに答えよ.
(1) p ,q を a ,b を用いて表せ.
(2) 点 P を通り, x 軸に垂直な直線と,直線 AB との交点を Q( p,r) とする. r と線分 PQ の長さを a ,b を用いて表せ.
(3) 三角形 APB の面積を S とする. S を a ,b を用いて表せ.
(4) 点 B に対して,点 A を直線 AB が m と直交するようにとる. l と m のなす角を θ (0< θ< π2 ) とする.このとき, a と tan⁡ θ を b を用いて表せ.
(5) (4)の条件のもとで点 B を動かしたとき,三角形 APB の面積 S の最小値とそのときの b の値を求めよ.
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【3】 e を自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1) 与えられた実数の定数 a ,b ,c ,p (p ≠0 ) に対して,次の等式を満たす連続関数 g⁡ (x) と定数 k を求めよ.
∫0x ⁡g⁡ (t)⁢ dt=( a⁢x2 +b⁢ x+c) ⁢e- xp +k
(2) 関数 f⁡ (x) を f⁡ (x)= (3⁢x -x2 )⁢e -x2 により定める.
(a) y=f⁡ (x) のグラフの変曲点は 2 つあるので,その x 座標を α , β (α <β ) とする. α ,β およびその値に最も近い整数値をそれぞれ求めよ.また, y=f⁡ (x) の増減,グラフの凹凸を調べ, 1 つの表にまとめよ. f⁡( x) の極値とそのときの x の値を求めよ.
(b) x≧0 の範囲で常に |f ⁡(x) |≦n となるような最小の自然数 n を求めよ.必要ならば, e3 >20 を用いてもよい.
(c) 曲線 y= f⁡(x ) の y≧ 0 にある部分と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.(ヒント:(1)の結果を利用するとよい.)