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2009 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(2),(3)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(1)  a を実数の定数, t を実数とし, x 2 次関数 f (x)= (x+ a)2 +t2 x+t 4 の最小値を g (t) とすると, g( t)= t 4-a t2 である.

  t が実数の範囲を動くとする. g(t ) a > のとき t= ± a で最小値 - a2 をとり, a のとき t= で最小値 をとる.

2009 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(3)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(2)  O を原点とする xy 平面上に,点 P( a,b) をとる.ただし,

a= 1tan π8 b =1

とする.また,点 Q の座標 (c, d)

( cd )= ( cos 512 π- sin 512 π sin 512 πcos 512 π ) ( a b )

で与えられるとする.

sin 512 π= ( + )

である.また,三角形 OPQ の面積 S

S= + + +

である.ただし, < < とする.

2009 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(2)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(3) 行列 A= (1 1 10 )

AP= P ( α0 0 β) P= (q r1 1 )

を満たしているとする.ただし, α>β とする.

(a)  q r α β を用いて表すと, q= (あ) r= (い) となる. α β 2 次方程式 x 2- x - =0 2 つの解で, α= + β= - である.

  An n は自然数)を α β n を用いて表すと,次のようになる.

An= 1 ( (う) (え) (お) (か) )

(b) 

( a1 b1 ) =( 11 ) ( a n+1 b n+1 )= A( a n bn ) n=1 2 3

で定められる数列 {a n} {b n} の一般項 an bn α β n を用いて表すと

an= (き) bn = (く)

となる.

 さらに, limn b nan = - である.



(あ),(い),(う),(え),(お),(か),(き),(く)の解答群





2009 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点40点

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面において,放物線 C: y=x2 上に 2 A (a ,a2 ) B( b,b 2) をとる.ただし, a<0< b とする.点 A B における C の接線をそれぞれ l m とし,それらの交点を P (p, q) とする.次の問いに答えよ.

(1)  p q a b を用いて表せ.

(2) 点 P を通り, x 軸に垂直な直線と,直線 AB との交点を Q( p,r) とする. r と線分 PQ の長さを a b を用いて表せ.

(3) 三角形 APB の面積を S とする. S a b を用いて表せ.

(4) 点 B に対して,点 A を直線 AB m と直交するようにとる. l m のなす角を θ (0< θ< π2 ) とする.このとき, a tan θ b を用いて表せ.

(5) (4)の条件のもとで点 B を動かしたとき,三角形 APB の面積 S の最小値とそのときの b の値を求めよ.

2009 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点40点

易□ 並□ 難□

【3】  e を自然対数の底とする.次の問いに答えよ.

(1) 与えられた実数の定数 a b c p p 0 に対して,次の等式を満たす連続関数 g (x) と定数 k を求めよ.

0x g (t) dt=( ax2 +b x+c) e- xp +k

(2) 関数 f (x) f (x)= (3x -x2 )e -x2 により定める.

(a)  y=f (x) のグラフの変曲点は 2 つあるので,その x 座標を α β α <β とする. α β およびその値に最も近い整数値をそれぞれ求めよ.また, y=f (x) の増減,グラフの凹凸を調べ, 1 つの表にまとめよ. f( x) の極値とそのときの x の値を求めよ.

(b)  x0 の範囲で常に |f (x) |n となるような最小の自然数 n を求めよ.必要ならば, e3 >20 を用いてもよい.

(c) 曲線 y= f(x ) y 0 にある部分と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.(ヒント:(1)の結果を利用するとよい.)

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