2009　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　対数を自然対数とする．数列$\{x_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

${\displaystyle {\int }_0^{x_n}}{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}dx=n\log \sqrt{3}$

により定める．ただし，$0\leqq x_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x_1$を求めよ．

(2)　$\sin x_n$を求めよ．

(3)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=x_n$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_n$とする．$V_n$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$V_n$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V_{n+1}}{V_n}}$を求めよ．

(5)　(3)で求めた$V_n$に対して，不等式

$V_{n+2}-2V_{n+1}+V_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　$a$を実数として，関数$f(x)\text{，}g(y)$を

$f(x)=x^3-6x\text{，}g(y)=y^2+ay-40$

とする．また，$f(x)$と$g(y)$の合成関数を$(g\circ f)(x)=g(f(x))$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$x=v_1$で極大値$f(v_1)\text{，}x=v_2$で極小値$f(v_2)$をとるとする．$v_1\text{，}f(v_1)\text{，}{v}_2\text{，}f(v_2)$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)で求めた$v_1\text{，}{v}_2$に対して，$f(x)-f(v_1)=0$の$v_1$以外の解を$u_1$とし，また，$f(x)-f(v_2)=0$の$v_2$以外の解を$u_2$とする．$u_1$と$u_2$の値を求めよ．

(3)　$b$を正の数とする．$g(y)=0$の$2$個の解は，絶対値がともに$b$より大きいという．$a$のとり得る値の範囲を$b$で表せ．また，このような$a$が存在する$b$の値の範囲を求めよ．

(4)　$(g\circ f)(x)=0$の異なる実数解は，$x_1$と$x_2\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$の$2$個であるとする．このとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{u}_1\text{，}{u}_2$の大小関係を不等式で表せ．ただし，$u_1\text{，}{u}_2$は(2)で求めた値とする．