2009　東京理科大学　全学部C日程2月18日実施MathJax

【１】(1)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=-3a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-{(-\boxed{\text{イ}})}^n}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(2)　$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_{n+1}=-3b_n+{\displaystyle \frac{2n^2-6n-17}{n^2+3n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列を考える．

$b_{n+1}=-\boxed{\text{エ}}{b}_n+\boxed{\text{オ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{n+1}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{n+2}}$

であるから

$b_{n+1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{n+2}}=-\boxed{\text{ケ}}(b_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{n+\boxed{\text{サ}}}})+\boxed{\text{シ}}$

である．

(3)　(1)，(2)より数列$\{b_n\}$の一般項は

$b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-{(-\boxed{\text{イ}})}^n}{\boxed{\text{ウ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{n+\boxed{\text{セ}}}}$

である．

【２】　関数

$f(x)=\tan x+{\displaystyle \frac{2}{\cos x}}(0<x<2\pi \text{，}x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$

を考える．次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)<0$となる$x$の範囲は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{2}}\pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{2}}\pi$

である．

また，$f(x)=2$であるとき，$\tan x$の値は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　関数$f(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$において極大値$-\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$において極小値$\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$をとる．

【３】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が$x^2+y^2\leqq 5^2$で定まる領域を動くとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$2y+x^2$の最小値は$-\boxed{\text{ア}\text{イ}}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ウ}},-\boxed{\text{エ}})$である．さらに$2y+x^2$の最大値は$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}},\boxed{\text{ケ}})\text{，}(-\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}},\boxed{\text{ケ}})$

である．

(2)　$3x+4y$の最大値は$\boxed{\text{コ}\text{サ}}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$である．また，$4x+3y$の最大値は$\boxed{\text{セ}\text{ソ}}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$である．

(3)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})\text{，}$点$\mathrm{B}(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$とで作る三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【４】　空間において，$4$点$(9,0,0)\text{，}\mathrm{A}(9,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を頂点とする四面体がある．

(1)　ある正の数$t$に対して，点$\mathrm{P}$が

$t\overrightarrow{\mathrm{OP}}+3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+4\overrightarrow{\mathrm{CP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\boxed{\text{エ}}+t}}$

である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が四面体$\mathrm{PABC}$の体積の$3$倍になっている．このとき，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線と$▵\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

(3)　点$\mathrm{Q}$が$▵\mathrm{ABC}$上にあるので

$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=v\overrightarrow{\mathrm{CA}}+w\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

となる実数$v\text{，}w$がある．このことと，(1)，(2)より

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}v={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}w={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

となる．ゆえに，点$\mathrm{Q}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}})$

となる．

【５】　平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が媒介変数$\theta$を用いて

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$

で与えられている．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から最も遠くなるのは

$\theta ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$

のときで，そのときの距離は$\boxed{\text{エ}}$である．また，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に最も近づくのは

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi (\text{ただし}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}})$

のときで，そのときの距離は$\boxed{\text{ケ}}$である．

さらに，${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$であることから，$x\text{，}y$は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}}xy+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}{y}^2=1$

を満たしている．

【６】(1)　次の積分を計算すると，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{3}}}\cos {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi xdx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\pi }}\text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{3}}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi xdx={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(2)　関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi x& (\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}})\\ \left|x\right|-{\displaystyle \frac{1}{3}}& (\left|x\right|>{\displaystyle \frac{1}{3}})\end{array}$

を考える．曲線$y=f(x)$と$3$本の直線$x=-1\text{，}x=1\text{，}y=0$とで囲まれる図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\pi }}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．また，この図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}\pi$

である．