2009　東邦大学　理学部A日程MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-x+a=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつための必要十分条件は$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$a$は実数，$i$は虚数単位（$i=\sqrt{-1}$）とする．$A={\displaystyle \frac{1-i}{1+2i}+\frac{a+i}{3-i}}$が実数のとき，$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}A=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$\sin \alpha =\cos 2\alpha \text{，}0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$\alpha =\boxed{\text{オ}}\text{，}\sin \alpha =\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とすると，$\overrightarrow{d}$は$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{d}=\boxed{\text{キ}}$と表せる．さらに線分$\mathrm{AD}$が$\angle \mathrm{A}$を$2$等分するとき$\left|\overrightarrow{d}\right|=\boxed{\text{ク}}\left|\overrightarrow{b}\right|$が成り立つ．

【２】　硬貨を投げ，表が出たら座標平面の$x$軸の正の方向に$1$進み，裏が出たら座標平面の$y$軸の正の方向に$1$進むものとする．次の問いに答えよ．

(1)　初め原点$\mathrm{O}$にいた人が硬貨を$4$回投げたとき，点$(3,1)$に到達する確率を求めよ．

(2)　初め点$\mathrm{P}(3,0)$と$\mathrm{Q}(0,3)$にいた$2$人が，それぞれ独立に硬貨を$4$回投げる．投げ終わったとき，$4$人が同じ点に到達している確率を求めよ．

(3)　初め$\mathrm{P}(3,0)$と$\mathrm{Q}(0,3)$にいた$2$人が，それぞれ独立に硬貨を$4$回投げる．$4$回目で初めて$2$人が同じ点に到達する確率を求めよ．

【３】　放物線$C:y=x^2$の上の点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a<b\text{）}$における接線をそれぞれ$l_a\text{，}{l}_b$とし，$l_a$と$l_b$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l_a$と$l_b$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　$l_a\text{，}{l}_b$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{P}$が直線$y=x-1$の上を動くとき，$S$の最小値を求めよ．