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2009-13460-0201
2009 東邦大学 医学部医学科
1月24日実施
易□ 並□ 難□
【1】 以下の各問に答えよ.解答は解答用マークシートに記入せよ.
(1) 方程式 x2 =-3 ⁢x+1 の 2 つの解を α ,β としたとき, α⁢( 3+3⁢ β+β 2) および β ⁢(3 +3⁢α +3⁢ α2 ) を解とする方程式の 1 つは, x2 = アイウ ⁢ x+ エオ である.
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(2) 5 人の人が, 4 人まで乗車できる車 2 台に分乗する.車も人もともに区別するが,どの座席につくかは区別しないとすると,分乗の方法は カキ 通りある.
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(3) 右図において, 2 つの円 O , O′ はともに 2 つの半直線 AB , AC に接し,かつ,互いに外接している.円 O の半径は 5 , ∠BAC= 60° である.
このとき,円 O′ の半径は, クケ である.
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(4) 0°<θ <90° とする. cos⁡θ= 12 13 のとき, sin ⁡ θ 2-cos ⁡ θ 2sin ⁡ θ 2+cos ⁡ θ 2= コサ シ である.
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(5) 自然数 n が
1⋅n +2⋅ (n-1 )+3⋅ (n-2 )+⋯ +(n- 1)⋅ 2+n⋅ 1=5456
を満たすとき, n= スセ である.
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(6) 方程式 log x-1 ⁡(x 2-x- 20)=2 の解は, x= ソタ である.
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(7) 定積分 ∫03 ⁡x 4-x ⁢dx の値は チツ テト である.
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(8) 3 つのベクトル a→ =(1 ,-1) ,b→ =(0 ,1) ,c →= (1,2 ) および, 2 つの実数 s ,t に対して, x→ =s⁢ a→ +2⁢t ⁢b→ -c → ,y →=2 ⁢s⁢ a→+ t⁢ b→+ c→ とする. x→ と y → の内積の最小値は ナニ である.
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(9) A=( 1 2 30 ) ,E =( 10 0 1 ) のとき, A6 -A5 -7⁢ A4+ 7⁢A 2+9 ⁢A+2 ⁢E=( ヌ ネ ノ ハ ) である.
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(10) 自然対数の底を e とし,関数 f⁡ (x) を f⁡ (x) =4e -|x |⁢ +| x+1 | とする. f⁡( x) が x= a で最小値をとるとき, ea = ヒ フ である.
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配点30点
【2】 以下の問題に対して,解答用紙の該当する欄に途中の経過と解を記入すること.たんに解のみが記入されていても採点の対象とならない.
f⁡(x ) は x> 0 において定義される微分可能な関数であり, x>0 および y> 0 に対して
f⁡(x ⁢y)= x⁢f⁡ (y)+ y⁢f( x)+x ⁢y
を満たしている.また f′ ⁡(1 )=0 である.このとき,以下の各問に答えよ.
(1) f⁡(1 ) の値を求めよ.
(2) limh→ 0⁡ x ⁢f⁡( 1+ hx )+x h の値を求めよ.
(3) 導関数の定義にしたがって, f′⁡ (x>) を求めよ.
(4) g⁡(x )= f⁡(x )x とおくとき, g′ ⁡(x) を, f⁡( x) や f ′⁡ (x) を含まない形で求めよ.
(5) f⁡(x ) を求めよ.