2009　東邦大学　医学部医学科MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(1)　方程式$x^2=-3x+1$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$としたとき，$\alpha (3+3\beta +{\beta }^2)$および$\beta (3+3\alpha +3{\alpha }^2)$を解とする方程式の$1$つは，$x^2=\boxed{\text{アイウ}}x+\boxed{\text{エオ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(2)　$5$人の人が，$4$人まで乗車できる車$2$台に分乗する．車も人もともに区別するが，どの座席につくかは区別しないとすると，分乗の方法は$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(3)　右図において，$2$つの円$O\text{，}{O}^{\prime }$はともに$2$つの半直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に接し，かつ，互いに外接している．円$O$の半径は$5\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60°$である．

　このとき，円$O^{\prime }$の半径は，$\boxed{\text{クケ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(4)　$0°<\theta <90°$とする．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{12}{13}}$のとき，${\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}-\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}=\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(5)　自然数$n$が

$1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots +(n-1)\cdot 2+n\cdot 1=5456$

を満たすとき，$n=\boxed{\text{スセ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(6)　方程式${\log }_{x-1}(x^2-x-20)=2$の解は，$x=\boxed{\text{ソタ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(7)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}x\sqrt{4-x}dx$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(8)　$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(0,1)\text{，}\overrightarrow{c}=(1,2)$および，$2$つの実数$s\text{，}t$に対して，$\overrightarrow{x}=s\overrightarrow{a}+2t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{y}=2s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積の最小値は$\boxed{\text{ナニ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(9)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$のとき，$A^6-A^5-7A^4+7A^2+9A+2E=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヌ}}& \boxed{\text{ネ}}\\ \boxed{\text{ノ}}& \boxed{\text{ハ}}\end{array}\right)$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(10)　自然対数の底を$e$とし，関数$f(x)$を$f(x)=4e^{-|x|}+|x+1|$とする．$f(x)$が$x=a$で最小値をとるとき，$e^a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

【２】　以下の問題に対して，解答用紙の該当する欄に途中の経過と解を記入すること．たんに解のみが記入されていても採点の対象とならない．

　$f(x)$は$x>0$において定義される微分可能な関数であり，$x>0$および$y>0$に対して

$f(xy)=xf(y)+yf(x)+xy$

を満たしている．また$f^{\prime }(1)=0$である．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$f(1)$の値を求めよ．

(2)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{xf(1+{\displaystyle \frac{h}{x}})+x}{h}}$の値を求めよ．

(3)　導関数の定義にしたがって，$f^{\prime }(x>)$を求めよ．

(4)　$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$とおくとき，$g^{\prime }(x)$を，$f(x)$や$f^{\prime }(x)$を含まない形で求めよ．

(5)　$f(x)$を求めよ．