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2009-13460-0401
2009 東邦大学 薬学部
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 0°≦θ≦ 90° のとき
x=cos2 ⁡θ+ 2⁢3 ⁢sin⁡ θ⁢cos⁡ θ-sin 2⁡θ ①
とし,次の関数の最小値を考える.
y=x2 -2⁢a ⁢x ( a は 0 以上の実数)
(1) ① の右辺を変形すると
x= ア ⁢sin ⁡( イ ⁢ θ+ ウ エ )
となるから, 0°≦θ≦ 90° より, - オ ≦x≦ カ である.
(2) 0≦a≦ キ のとき,最小値は - ク ⁢ a2 である.
また, a> ケ のとき,最小値は - コ ⁢a + サ である.
(3) 最小値が -3 になるときの a の値は シ である.
また最小値をとる θ の値は,小さい順に
ス セ ° , ソ タ °
である.
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【2】 空間内に A( 1,-1 ,3) ,B( 3,1, 4), C(- 1,0, 5) をとる.
(1) |AB →| =| AC→ |= チ , AB→ ⋅AC →= ツ となるから,線分 AB ,AC を隣り合う 2 辺とする正方形 ABDC を作ることができる.
このとき,点 D の座標は ( テ, ト, ナ) である.
(2) AB→ ,AC→ の両方に垂直なベクトルを n→ とすると
n→ = 1 ニ ⁢( 1,- ヌ , ネ )
である.ただし, n→ の大きさは 1 で, z 成分は正とする.
(3) 正方形 ABDC の 2 つの対角線の交点を E とし,点 F を
OF→ =OE→ +t⁢ n→ ( t は正の実数), cos⁡∠ AFB= 34
を満たすようにとるとき, ノ ⁢ ハ ヒ である.
(4) 四角錐 F- ABDC の体積は フ ⁢ ヘ ホ である.
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【3】 ともに 1 でない正の実数 x ,y について
log2⁡ x⁢y= a, log2⁡ x⁢log2 ⁡y=b
とおくとき, b=a3 + 12⁢ a2- a ,a> 0 が成り立つとする.
(1) F=( log2⁡ xy ) 2 を a の関数として表すと
F=- マ ⁢ a3- ミ ⁢ a2+ ム⁢ a
(2) F≧0 だから, a のとる値の範囲は
0<a≦ メ モ - ヤ ユ
(3) F が最大となる a ,b の値を求めると
a= ヨ ラ , b=- リ ル
(4) log2⁡ xy が最大となるとき log2 ⁡= レ+ ロ ワ である.
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【4】 3 次関数 f⁡ (x)= x3+ x2 と正の定数 a について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x +a )<f⁡ (x )+f⁡ (a) を満たす整数 x がただ 1 つであるとき, a の値の範囲を求めよ.
(2) f⁡(x +2⁢a )<f⁡ (x+a )+f⁡ (a) を満たす整数 x が -1 だけであるとき, a の値の範囲を求めよ.
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【5】 2 次式で表される関数 y= f⁡(x ) は,等式
2+f ′⁡( x)⁢f ⁡(x) =k⁢ ∫0x ⁡f⁡ (t)⁢ dt
を満たし,そのグラフは点 (0, -1) を通るという.次の問いに答えよ.
(1) x2 の係数を k で表せ.
(2) y=f⁡ (x) のグラフ上の点 (0, -1) における接線 l の方程式を求めよ.
(3) y=f⁡ (x) のグラフと接線 l および x 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.