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2009 東邦大学 薬学部

2月3日実施

易□ 並□ 難□

【1】  0°θ 90° のとき

x=cos2 θ+ 23 sin θcos θ-sin 2θ

とし,次の関数の最小値を考える.

y=x2 -2a x a 0 以上の実数)

(1)  の右辺を変形すると

x= sin ( θ+ )

となるから, 0°θ 90° より, - x である.

(2)  0a のとき,最小値は - a2 である.

 また, a> のとき,最小値は - a + である.

(3) 最小値が -3 になるときの a の値は である.

 また最小値をとる θ の値は,小さい順に

° °

である.

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2月3日実施

易□ 並□ 難□

【2】 空間内に A( 1,-1 ,3) B( 3,1, 4) C(- 1,0, 5) をとる.

(1)  |AB | =| AC |= AB AC = となるから,線分 AB AC を隣り合う 2 辺とする正方形 ABDC を作ることができる.

 このとき,点 D の座標は ( , , ) である.

(2)  AB AC の両方に垂直なベクトルを n とすると

n = 1 ( 1,- , )

である.ただし, n の大きさは 1 で, z 成分は正とする.

(3) 正方形 ABDC 2 つの対角線の交点を E とし,点 F

OF =OE +t n t は正の実数), cos AFB= 34

を満たすようにとるとき, である.

(4) 四角錐 F- ABDC の体積は である.

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2月3日実施

易□ 並□ 難□

【3】 ともに 1 でない正の実数 x y について

log2 xy= a log2 xlog2 y=b

とおくとき, b=a3 + 12 a2- a a> 0 が成り立つとする.

(1)  F=( log2 xy ) 2 a の関数として表すと

F=- a3- a2+ a

である.

(2)  F0 だから, a のとる値の範囲は

0<a -

である.

(3)  F が最大となる a b の値を求めると

a= b=-

である.

(4)  log2 xy が最大となるとき log2 = + である.

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2月3日実施

易□ 並□ 難□

【4】  3 次関数 f (x)= x3+ x2 と正の定数 a について,次の問いに答えよ.

(1)  f(x +a )<f (x )+f (a) を満たす整数 x がただ 1 つであるとき, a の値の範囲を求めよ.

(2)  f(x +2a )<f (x+a )+f (a) を満たす整数 x -1 だけであるとき, a の値の範囲を求めよ.

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2月3日実施

易□ 並□ 難□

【5】  2 次式で表される関数 y= f(x ) は,等式

2+f ( x)f (x) =k 0x f (t) dt

を満たし,そのグラフは点 (0, -1) を通るという.次の問いに答えよ.

(1)  x2 の係数を k で表せ.

(2)  y=f (x) のグラフ上の点 (0, -1) における接線 l の方程式を求めよ.

(3)  y=f (x) のグラフと接線 l および x 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.

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