2009　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】

(1)　関数

$f(x)=2^x+2^{-x}$

は$x=\boxed{\text{ア}}$のとき，最小値$\boxed{\text{イ}}$をとる．また，関数

$g(x)=8^x+8^{-x}-4(4^x+4^{-x})$

は

$x=-1+{\log }_2(\boxed{\text{ウ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{エ}}})$

のとき，最小値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

【１】

(2)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$と円${(x-1)}^2+{(y+1)}^2=2$の両方に接する直線は，

• $y=\boxed{\text{カ}}x+\boxed{\text{キ}}$
• $y=\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}$
• $y=\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{カ}}<\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{コ}}$とする．

【２】　次のようなコインを$n$回投げるゲームを行う．ゲーム開始時の持ち点は$0$点とし，$1$回投げるごとに持ち点は表が出ると$1$点増え，裏が出ると$1$点減る．ゲーム開始時から終了時までの最大の持ち点を$m$点とする．

(a)　$n=2$のとき，$m=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{4}}$である．

(b)　$n=3$のとき，$m$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{8}}$である．

(c)　$n=5$のとき，$m\leqq 2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{32}}$である．

(d)　$n=7$のとき，$m\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{128}}$である．

【３】　点$\mathrm{P}$は円$x^2+y^2=4$上の第$1$象限を動く点であり，点$\mathrm{Q}$は円$x^2+y^2=16$上の第$2$象限を動く点である．ただし，原点$\mathrm{O}$に対して，つねに$\angle \mathrm{POQ}=90°$であるとする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線$\mathrm{PH}$を下ろし，点$\mathrm{Q}$から$x$軸に垂線$\mathrm{QK}$を下ろす．さらに$\theta =\angle \mathrm{POH}$とする．

(a)　四角形$\mathrm{PQKH}$の面積は$\tan \theta =\boxed{\text{タ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{チ}}$をとる．

(b)　三角形$\mathrm{QKH}$の面積は

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{2}}$

のとき，最大値

$\boxed{\text{ト}}(\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}+1)$

をとる．

【４】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はともに公差$2$の等差数列であり，初項$a_1$と$b_1$は$a_1<b_1$を満たす．さらに数列$\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$を

$c_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{d}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．座標平面上で点${\mathrm{A}}_n(a_n,c_n)$と点${\mathrm{B}}_n(b_n,d_n)$は，すべて放物線$C:y=p{x}^2+qx+r$上にあるとする．ただし，$p\text{，}q\text{，}r$は定数である．

(a)　$p={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(b)　$r=0$のとき，$a_1=\boxed{\text{ネ}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{ノ}}$である．

(c)　線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$と放物線$C$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_1=9$のとき，$r=\boxed{\text{ハ}}\text{，}{S}_{10}=\boxed{\text{ヒ}}$である．