2009 早稲田大学 理工系学部MathJax

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2009 早稲田大学 基幹理工学部,創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x に対して, x 以下の最大の整数を [x ] で表す.以下の問に答えよ.

(1)  14 3< x<5 のとき, [ 3 7 x]- [ 37 [ x] ] を求めよ.

(2) すべての実数 x について, [ 12 x] -[ 1 2 [x] ]= 0 を示せ.

(3)  n を正の整数とする.実数 x について, [ 1 n x] -[ 1 n [x ] ] を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【2】  a>0 に対し,行列 A

A=( a 1 -1 a)

で定める. xy 平面上の直線 y= 1 l 1 とする. l1 の各点を行列 A で表される 1 次変換で移してできる直線を l 2 とし, l1 の各点を A の逆行列 A -1 で表される 1 次変換で移してできる直線を l 3 とする.また, l1 l 2 の交点を P l1 l 3 の交点を Q l2 l 3 の交点を R とし, PQR の面積を S (a ) とする.以下の問に答えよ.

(1) 直線 l 2 と直線 l 3 の方程式を求めよ.

(2)  3 P Q R の座標を求めよ.

(3)  S( a) を求めよ.

(4)  S(a ) を最小にする a を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【3】 トランプのハートとスペードの 1 から 10 までのカードが 1 枚ずつ総計 20 枚ある. i= 1 2 10 に対して,番号 i のハートとスペードのカードの組を第 i 対とよぶことにする. 20 枚のカードの中から 4 枚のカードを無作為に取り出す.取り出された 4 枚のカードの中に第 i 対が含まれているという事象を A i で表すとき,以下の問に答えよ.

(1) 事象 A 1 が起こる確率 P (A1 ) を求めよ.

(2) 確率 P (A1 A 2) を求めよ.

(3) 確率 P (A1 A 2 A3 ) を求めよ.

(4) 取り出された 4 枚のカードの中に第 1 対,第 2 対,第 3 対,第 4 対,第 5 対,第 6 対の中の少なくとも 1 つが含まれる確率を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【4】 以下の問に答えよ.

(1) 半径 r の円に内接し, 1 つの対角線の長さが l であるような四角形の面積の最大値を r l で表せ.

(2) 半径 r の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ.

(3) 空間内の点 O を頂点とし,四角形 ABCD を底面とする四角錐(すい)が OA =OB= OC=OD =1 を満たしているとする.そのような四角錐の体積の最大値を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【5】 実数 p> 0 に対して,

f(x )=e (p+ 1) x- ex

とおく.以下の問に答えよ.

(1)  f(x ) が最小となる x の値 s p を求め, y=f (x ) のグラフを描け.

(2) 

g(t )= tt +1 f (x) et- x dx

とおく. g (t) が最小となる t の値 t p を求めよ.

(3)  0<p 1 のとき,

1+ p2 ep -1 p 1+ p2 +p2

が成立することを用いて,右側からの極限 lim p +0 (t p- sp ) を求めよ.

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