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2009-13591-0301
2009 早稲田大学 基幹理工学部,創造理工学部,先進理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 実数 x に対して, x 以下の最大の整数を [x ] で表す.以下の問に答えよ.
(1) 14 3< x<5 のとき, [ 3 7⁢ x]- [ 37 ⁢[ x] ] を求めよ.
(2) すべての実数 x について, [ 12 ⁢x] -[ 1 2⁢ [x] ]= 0 を示せ.
(3) n を正の整数とする.実数 x について, [ 1 n⁢ x] -[ 1 n⁢ [x ] ] を求めよ.
2009-13591-0302
【2】 a>0 に対し,行列 A を
A=( a 1 -1 a)
で定める. xy 平面上の直線 y= 1 を l 1 とする. l1 の各点を行列 A で表される 1 次変換で移してできる直線を l 2 とし, l1 の各点を A の逆行列 A -1 で表される 1 次変換で移してできる直線を l 3 とする.また, l1 と l 2 の交点を P , l1 と l 3 の交点を Q , l2 と l 3 の交点を R とし, ▵PQR の面積を S ⁡(a ) とする.以下の問に答えよ.
(1) 直線 l 2 と直線 l 3 の方程式を求めよ.
(2) 3 点 P , Q ,R の座標を求めよ.
(3) S⁡( a) を求めよ.
(4) S⁡(a ) を最小にする a を求めよ.
2009-13591-0303
【3】 トランプのハートとスペードの 1 から 10 までのカードが 1 枚ずつ総計 20 枚ある. i= 1 ,2 , ⋯ ,10 に対して,番号 i のハートとスペードのカードの組を第 i 対とよぶことにする. 20 枚のカードの中から 4 枚のカードを無作為に取り出す.取り出された 4 枚のカードの中に第 i 対が含まれているという事象を A i で表すとき,以下の問に答えよ.
(1) 事象 A 1 が起こる確率 P⁡ (A1 ) を求めよ.
(2) 確率 P⁡ (A1 ∩A 2) を求めよ.
(3) 確率 P⁡ (A1 ∪A 2∪ A3 ) を求めよ.
(4) 取り出された 4 枚のカードの中に第 1 対,第 2 対,第 3 対,第 4 対,第 5 対,第 6 対の中の少なくとも 1 つが含まれる確率を求めよ.
2009-13591-0304
【4】 以下の問に答えよ.
(1) 半径 r の円に内接し, 1 つの対角線の長さが l であるような四角形の面積の最大値を r と l で表せ.
(2) 半径 r の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ.
(3) 空間内の点 O を頂点とし,四角形 ABCD を底面とする四角錐(すい)が OA =OB= OC=OD =1 を満たしているとする.そのような四角錐の体積の最大値を求めよ.
2009-13591-0305
【5】 実数 p> 0 に対して,
f⁡(x )=e (p+ 1)⁢ x- ex
とおく.以下の問に答えよ.
(1) f⁡(x ) が最小となる x の値 s p を求め, y=f ⁡(x ) のグラフを描け.
(2)
g⁡(t )= ∫tt +1 ⁡f⁡ (x)⁢ et- x⁢ dx
とおく. g⁡ (t) が最小となる t の値 t p を求めよ.
(3) 0<p≦ 1 のとき,
1+ p2 ≦ ep -1 p≦ 1+ p2 +p2
が成立することを用いて,右側からの極限 lim p→ +0 ⁡(t p- sp ) を求めよ.