2009　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　正の奇数を次のような群に分けるとき，$777$は第$\boxed{\text{ア}}$群の第$\boxed{\text{イ}}$番目にあたる．

$(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),\cdots$

【２】　$x=5+3i$とするとき，$2x^5-20x^4+68x^3-x^2+10x-83$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　$x$を整数とするとき，${4.5}^x$の整数部分が$6$桁の数となるような$x$の中で最大のものは$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=6$の二等辺三角形であり，$\angle \mathrm{AOB}=30°$とする．辺$\mathrm{AB}$の三等分点のうち，点$\mathrm{A}$に近い方の点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{B}$に近い方の点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}=\alpha$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{オ}}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$であり，線分$\mathrm{OP}$の長さの$2$乗は$\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{3}$である．また，$\tan \alpha$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{3}-\boxed{\text{コ}}}{11}}$である．

【５】　${(1+x+x^2)}^5$を展開したときの$x^6$の係数は$\boxed{\text{サ}}$である．

【６】　一辺の長さが$a$である正四面体$P_0$から，各辺の中点を結んでできる立体（正八面体である）を取り除いて立体$P_1$を作る．この$P_1$は$4$個の正四面体で構成される立体となる．次に，この立体$P_1$を構成する$4$個の正四面体のそれぞれについて$P_0$から$P_1$を作ったのと同様の操作を施して，立体$P_2$を作る．この立体$P_2$は$16$個の正四面体から構成される立体となる．以下同様に$P_3\text{，}\cdots \text{，}{P}_n$を作る．このとき，立体$P_n$の表面積は$\sqrt{\boxed{\text{シ}}}{a}^2$であり，体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{2^n\cdot \boxed{\text{セ}}}}{a}^3$となる．ただし，$\boxed{\text{セ}}$はできる限り小さい自然数で答えること．

【７】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$がある．原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は${\displaystyle \frac{6}{\boxed{\text{ソ}}}}(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$となる．ただし，$\boxed{\text{ソ}}$は正の数とする．

【８】　$f(x)=x^2+2x+c$について，$x$の方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもち，$f(f(x))=0$が重解$\alpha$をもつとき，$\alpha =\boxed{\text{テ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{2}}$である．

【９】　$f(x)=x^2-x\text{，}g(x)=mx$とする．積分$h(m)={\displaystyle {\int }_0^3}|f(x)-g(x)|dx$について，$m$が$0\leqq m\leqq 3$を満たしながら動くとき，$h(m)$の最大値は$\boxed{\text{ニ}}$，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}-\boxed{\text{ネ}}\sqrt{2}}{2}}$である．

【８】　$xy$平面上において$y=\cos x\text{，}y={\displaystyle \frac{3}{2\pi }}x$および$x$軸で囲まれる$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\pi \left\{{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{テ}}}{\pi }^2+\frac{\boxed{\text{ト}}-\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{3}\pi +\boxed{\text{ニ}}}\right\}$となる．

【９】　行列$A$の表す$1$次変換による点$(2,2)$の像は点$(1,1)$であり，点$(2,-4)$の像は点$(3,5)$である．このとき，行列$A$は，$A={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヌ}}& \boxed{\text{ネ}}\\ \boxed{\text{ノ}}& \boxed{\text{ハ}}\end{array}\right)$となる．ここで，$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 7& 1\end{array}\right)$に対して$P^{-1}AP$を利用して$A^n$を求めたとする．$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とすると，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{3}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．