2009　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　${\omega }^3=1\text{，}\omega \ne 1$とし，$A=\left(\begin{array}{cc}-{\omega }^2& -\omega \\ 1& 0\end{array}\right)$とする．

　${\displaystyle \sum _{n=1}^{2009}}{A}^n=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$と表すと，$a+b+c+d=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots \text{，}{x}_{1005}$が，

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+3}=\frac{x_3}{x_3+5}=\cdots =\frac{x_{1005}}{x_{1005}+2009}}\\ x_1+x_2+x_3+\cdots +x_{1005}=2010\end{array}$

をみたすとき，$x_{21}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$A={\displaystyle \frac{1}{21\cdot 2009}}\text{，}B={(1+{\displaystyle \frac{1}{2009}})}^{{\displaystyle \frac{1}{21}}}-1\text{，}C=1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2009}})}^{{\displaystyle \frac{1}{21}}}$とする．これらの中で最大のものは$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$最小のものは$\boxed{\text{エ}}$である．$\boxed{}$には$A\text{，}B\text{，}C$の文字を入れよ．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$1$から$19$までの整数の集合を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の部分集合$\mathrm{A}$で，次の$2$つの条件をみたすものを考える．

• (ⅰ)　$\mathrm{A}$は$5$個の要素からなる．
• (ⅱ)　$\mathrm{A}$のどの$2$つの要素の差も$1$より大きい．

このような$A$は全部で$\boxed{\text{オ}}$個ある．

【２】　$xyz$空間の球面$x^2+y^2+{(z-1)}^2=1$を$S$とし，直線$x+y+1=0\text{，}z=0$を$l$とする．$S$上の点$\mathrm{N}(0,0,2)$と$l$を含む平面を$L$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$(a,b,0)$と$\mathrm{N}$を通る直線と$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なる点の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$S$を表面とする球は，平面$L$によって$2$つの図形に分けられる．このとき，小さい方の図形の体積を求めよ．

【３】　$n$は$1$より大きい整数とし，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}0<y<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

　${\displaystyle \frac{{\cos }^{n}x+{\cos }^{n}y}{{(\cos x+\cos y)}^n}}$と${\displaystyle \frac{{\cos }^{n}2x+{\cos }^{n}2y}{{(\cos 2x+\cos 2y)}^n}}$の大小を判定せよ．

【４】　正の整数$n$に対して，集合$\{1,2,\cdots ,n\}$の部分集合$\mathrm{M}$で条件

$m\in \mathrm{M}$ならば$2m\notin \mathrm{M}$

をみたすものを考える．このような集合$\mathrm{M}$に対して$\mathrm{M}$の要素の個数を$g(\mathrm{M})$とするとき，$g(\mathrm{M})$の取りうる最大値を$f(n)$と表す．

　次の問に答えよ．

(1)　$n$が$4$の倍数のとき，$f(n)\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+f\left({\displaystyle \frac{n}{4}}\right)$が成り立つことを示せ．

(2)　$n$が$4$の倍数のとき，$f(n)\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+f\left({\displaystyle \frac{n}{4}}\right)$も成り立つことを示せ．

(3)　$f(3\cdot 2^{125})$を求めよ．