2009　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　条件$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}3a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．解答欄に答のみ記入せよ．

(1)　第$3$項$a_3$を求めよ．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(3)　一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

【２】　座標空間内の点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,\sqrt{2})\text{，}\mathrm{P}(x,y,z)$について，$\cos \angle \mathrm{OAP}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$であり，$\angle \mathrm{BOP}=90°$である．このとき，次の各問に答えよ．解答欄に答のみ記入せよ．

(1)　$z$を$y$の式で表せ．

(2)　$y$を$x$の式で表せ．

(3)　$z$の最大値を求めよ．

【３】　$0$から$9$までの数字が$1$つずつ記入された$10$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時に取り出し，それらの数を$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a>b>c\text{）}$とし，

$S={\displaystyle {\int }_0^a}(x^2-2bx+3c)dx$

とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　$S=0$であるためには，$a$は$3$の倍数でなけらばならないことを示せ．

(3)　$S=0$となる確率を求めよ．

【４】　正の実数$\alpha \text{，}\beta$について，

$x=\alpha +\beta \text{，}y=\alpha \beta$

とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{x^2}{y}}$の最小値を求め，そのときの$\alpha$と$\beta$の関係式も求めよ．

(2)　等式

${\alpha }^2+{\beta }^2={\alpha }^3+{\beta }^3\cdots$(A)

が成り立つとき，$y$を$x$の式で表せ．

(3)　等式(A)が成り立つとき，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．