2009　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$2$つの関数

• $f(x)=-x^2+2|x|-a^2$
• $g(x)=bx$

について，次の問に答えよ．ただし，$a\text{，}b$は定数で，$a\geqq 1$とする．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=g(x)$が$y=f(x)$に接するとき，$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　すべての実数$x$に対して$f(x)\leqq g(x)$が成り立つための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，この条件をみたす領域を$ab$平面上に図示せよ．

(4)　(2)において，$b>0$のとき，$y=f(x)\text{，}y=g(x)$のグラフと直線$x=0$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

【２】　$1$から$10$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚取り出す．取り出された$3$枚のカードに書かれた整数を小さい順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$がすべて偶数である確率を求めよ．

(2)　$a\times b\times c$が$9$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　$b+c\geqq 9$となる確率を求めよ．

(4)　$c-a=k\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$となる確率を$k$を用いて表せ．

(5)　$c-a\leqq n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$となる確率を$n$を用いて表せ．

【３】　$0\leqq t\leqq 1\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}}$とする．座標平面上の点$\mathrm{A}(\cos \theta ,\sin \theta )$を通る傾き$1$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．また原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$t$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{BP}$の長さを$l$とする．$l^2$を$t\text{，}\sin 2\theta \text{，}\cos 2\theta$を用いて表せ．

(3)　ある$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$に対して，$\theta$が${\displaystyle -\frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}}$の範囲で変化する．このとき，$l^2$の最大値を$t$を用いて表せ．

(4)　(3)の$l^2$の最大値を$L(t)$とおく．$0\leqq t\leqq 1$における$L(t)$の最大値を求めよ．