2009　南山大　センター併用2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　座標平面上に放物線$C:y={(x-a)}^2-4$と直線$l:y=x-4$がある．$C$と$l$が接するときの$a$の値は$a=\boxed{\text{ア}}$である．また，$a\geqq 0$のとき，連立不等式$y\geqq {(x-a)}^2-4\text{，}y\leqq x-4$の表す領域において$y$のとりうる値の最大値が$0$以上となるような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$を満たす鈍角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その外接円の半径は$5$とする．このとき，$\sin A$を求めると$\sin A=\boxed{\text{ウ}}$であり，$\mathrm{AB}$の長さを求めると$\mathrm{AB}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$5$個の箱があり，それぞれの箱には$-1\text{，}0\text{，}1$の数が$1$つずつ書かれた$3$枚のカードが入っている．これらの$5$個の箱からカードを$1$枚ずつ取り出すとき，$5$枚のカードに書かれた$5$つの数の積が$1$になる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$5$つの数の和が$1$になる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　関数$f(x)$は$x$の$2$次関数であり，等式$4f(x)+x{f}^{\prime }(x)=-6x^2+20x-12$を満たすとする．このとき，座標平面上で$2$つの放物線$C_1:y=x^2+1\text{，}{C}_2:y=f(x)$と$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,p^2+1)$を考える．

(1)　$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$f\left(x\right)$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本ある．それぞれの方程式を求めよ．

(4)　$C_2$と(3)で求めた$2$つの直線とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x\text{，}y$は$x\geqq 2\text{，}y\geqq 4\text{，}xy=32$を満たすとする．このとき，${\log }_{2}x\cdot {\log }_{2}y$は$(x,y)=\boxed{\text{ア}}$で最大値をとり，$(x,y)=\boxed{\text{イ}}$で最小値をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$があり，$c_n=a_n+b_n$とする．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$である．$c_1=1\text{，}{c}_2=1\text{，}{c}_3=3\text{，}{c}_4=9$のとき，$a_1=\boxed{\text{ウ}}$であり，$c_5=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　赤，青，黄の$3$つのさいころを使うゲームを考える．$3$つのさいころを同時に振って赤のさいころの目が他の$2$つのさいころのどちらの目よりも大きいときは赤のさいころの目が得点となり，そうでないときは青のさいころの目が得点となる．このとき，得点が$6$になる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，得点が$3$以上になる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　座標平面上で曲線$C:y=e^{-3x}$を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．原点を${\mathrm{Q}}_1$とし，${\mathrm{Q}}_1$と $x$座標が同じである$C$上の点を${\mathrm{P}}_1$とする．${\mathrm{P}}_1$における$C$の接線を$l_1$とし，$l_1$と$x$軸の交点を${\mathrm{Q}}_2$とする．以下同様に，$x$軸上の点${\mathrm{Q}}_n$を定めたとき，${\mathrm{Q}}_n$と$x$座標が同じである$C$上の点を${\mathrm{P}}_n$とし，${\mathrm{P}}_n$における$C$の接線を$l_n\text{，}{l}_n$と$x$軸の交点を${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．また，${\mathrm{P}}_n$の座標を$(a_n,b_n)$とする．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$である．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$a_2$の値を求めよ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(4)　$2$つの線分${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+1}$と$x$軸と$C$とで囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．