2009　南山大　数理情報A2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　等式${\displaystyle \frac{1}{p-\sqrt{6}}}=1-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$を満足する$p$の値を求めると$p=\boxed{\text{ア}}$である．また，式$-4a+2a^2+4b-a^{2}b-2b^2+a{b}^2$を因数分解すると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$1$行$2$列の行列$P=(x1-x)$と$2$行$2$列の行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& a\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$がある．すべての$x$に対し積$PA$の成分の和が$1$になるとき，$a=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$PA=P$が成立するとき，$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\overrightarrow{0}$ではなく，平行でもない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp (2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$を満たす．$\overrightarrow{b}$の大きさを$x$とする．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$x$の式で表すと，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{オ}}$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$x$の値を求めると，$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$2$つの関数$f(x)={\log }_2(7x^2-14x+11)\text{，}g(x)=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}f(x))$がある．$0\leqq x\leqq 3$の範囲で考えたとき，$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$であり，$g(x)$が最大値をとるのは$x=\boxed{\text{ク}}$のときである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　ある人が毎日$1$回正午に$1$つのさいころを振って，$2$つの町$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をどのように移動するかを決める．午前中$\mathrm{A}$にいるときは，$1$から$4$の目が出たら午後に$\mathrm{B}$へ移動して次の日の正午まで$\mathrm{B}$に留まり，$5$か$6$の目が出たら次の日の正午まで$\mathrm{A}$に留まる．午前中$\mathrm{B}$にいるときは，$1$から$3$の目が出たら午後に$\mathrm{A}$へ移動して次の日の正午まで$\mathrm{A}$に留まり，$4$から$6$の目が出たら次の日の正午まで$\mathrm{B}$に留まる．$1$日目の午前中$\mathrm{A}$にいるとき，その日の午後に$\mathrm{B}$へ移動し，$3$日目の午前中$\mathrm{A}$にいる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$1$日目の午前中$\mathrm{A}$にいるとき，$4$日目の午前中$\mathrm{A}$にいる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{d_n\}\text{，}\{S_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は，$d_n=a_{n+1}-a_n$と$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i$を満たす．

(1)　$\{S_n\}$が初項$c\text{，}$公差$c$の等差数列であるとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，$c$は定数とする．

(2)　$\{d_n\}$が初項$r\text{，}$公比$r$の等比数列であり，$a_1=1$であるとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，$r$は$1$でない定数とする．

(3)　$a_1=1$であり，$S_{n+1}={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{S}_i$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$a_1=1\text{，}{d}_1=-2$であり，$2a_{n+2}=d_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_n$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　座標平面上に曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と$C$上の点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})$がある．ただし，$a>1$である．

(1)　$\mathrm{A}$における$C$の法線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の$l$を対称の軸として，直線$l_1:x=a$を対称移動して得られる直線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と(2)の$l_2$とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$で表せ．