2009　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}}$の整数部分は$\boxed{\text{ア}}$であり，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値は分母を有理化すると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　頂点を$\mathrm{O}$とする放物線$C:y=x^2$上に，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすように点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとるとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\mathrm{OE}=\mathrm{OF}$を満たし，$▵\mathrm{OEF}=8\cdot ▵\mathrm{OAB}$となるように，$C$上に点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をとるとき，点$\mathrm{E}$の$y$座標の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a\text{，}b$は実数，$i$は虚数単位とする．方程式$x^3+a{(x+1)}^2+b=0$が$1-i$を解に持つとき，$a$と$b$の値は$(a,b)=\boxed{\text{オ}}$であり，そのときの実数解は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a$を定数とすると，関数$y=4^x-3\cdot 2^{x+1}+2^a-7$は，$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最小値をとる．また，その最小値が正であるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$\sin 6°=k$とするとき，$\cos 12°$を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\sin 258°$は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　$t$を実数とする．放物線$C_1:y=x^2-4x+t$と，$x$軸に関して$C_1$と対称な放物線$C_2$があり，これらの放物線に$2$本の共通な接線$l\text{，}{l}^{\prime }$を引くことができる．$C_1$とこれらの接線の接点を点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$（ただし$\alpha <\beta$）とする．

(1)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$l$と$l^{\prime }$の方程式を求めよ．

(3)　$t$が変化するとき，点$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$が描く軌跡を求めよ．

(4)　$t=6$のとき，$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$と$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+4$の導関数$f^{\prime }(x)$を用いて，関数$g(x)=f^{\prime }(2x+1)$と定義するとき，$g(x)=\boxed{\text{オ}}$となる．また，曲線$y=g(x)$は$4$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,1)$を頂点とする正方形を$2$分する．このとき，小さいほうの図形の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$1000$本のくじがある．その中には，引いたとき$100$万円の賞金を受け取ることができる$1$等のくじが$1$本，$10$万円の$2$等が$3$本，$1$万円の$3$等が$6$本含まれている．ただし，これら以外のくじを引いた場合には，賞金はもらえない．参加費$1000$円を払ってこのくじを$1$本引いたとき，賞金がもらえない確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，このくじに参加して受け取ることが期待される賞金から参加費を引いた金額は$\boxed{\text{ク}}$円である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$t$を正の実数とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,-2+4t,1+4t)$と$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$とのなす角が$45°$であるとき，$t=\boxed{\text{ケ}}$であり，このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)$の両方に垂直な単位ベクトルは$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$は，$x+y+z=0$と$xy+yz+zx=-3(x+3)$を満たす実数である．

(1)　$2$次の係数が$1$である変数$t$の$2$次方程式$f(t)=0$が，$y$と$z$を（$2$つの）*実数解として持つとき，$f(t)$を$x$を用いて表せ．

(2)　(1)のとき，$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　(1)のとき，$x^3+y^3+z^3$の最大値と最小値，およびそれらの値をとる$x$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2)\text{，}$および$\mathrm{C}(c_1,c_2)$をとる．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の重心を${\mathrm{G}}_1(x_1,y_1)$とし，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{G}}_1$で作られる$▵\mathrm{AB}{\mathrm{G}}_1$の重心を${\mathrm{G}}_2(x_2,y_2)\text{，}$さらに，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{G}}_2$で作られる$▵\mathrm{AB}{\mathrm{G}}_2$の重心を${\mathrm{G}}_3(x_3,y_3)$とする．一般に，$n\geqq 2$のとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{G}}_{n-1}$で作られる$▵\mathrm{AB}{\mathrm{G}}_{n-1}$の重心を${\mathrm{G}}_n(x_n,y_n)$とする．

(1)　点${\mathrm{G}}_1$の座標を，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{G}}_n(x_n,y_n)$の座標がなす$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{C}(-400,-1500)$であるとき，点${\mathrm{G}}_n$が第$1$象限に入るような最小の$n$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$xy=8$のとき，$({\log }_{2}x)({\log }_{4}8y-2)-6{\log }_{8}x$は，$(x,y)=\boxed{\text{オ}}$で，最大値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${(2x^2-{\displaystyle \frac{1}{2x}})}^6$の展開式で，$x^3$の係数は$\boxed{\text{キ}}$であり，定数項は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a>0$とする．$f(x)=\sqrt{ax-1}-2$の逆関数$g(x)$は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(x)=1$が異なる$2$実解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(x)=(x+2)e^{-x+1}$があり，$y=f(x)$となる曲線を$C$とする．また，$f(x)$の極値を与える$x$の値を$a_1\text{，}C$の変曲点の$x$座標を$a_2$とする．

(1)　$f(x)$の極値と$C$の変曲点の座標を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(k)=f^{″}(k)$を満たす$k$について，$C$上の点,$\mathrm{K}(k,f(k))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸，および$2$直線$x=a_1$と$x=a_2$とで囲まれた図形の面積を求めよ．