2009 南山大 数理情報B2月11日実施MathJax

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2009 南山大学 数理情報学部B方式

2月11日実施

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(1)  2 次関数 y= x2+ ax- a のグラフは実数 a がどのような値であっても一定の点 を通る.このグラフが x 軸と共有点をもつような a の範囲は である.

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【1】    の中に答を入れよ.

(2) 行列 A= (1 a a+1 2 ) がある. A の逆行列が存在しないような a の値を求めると a = である.また, A( - a3 4) =( 0 0 ) を満たす a の値を求めると a = である.

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【1】    の中に答を入れよ.

(3)  2 つの実数 a b は正とする.また, i は虚数単位である. (a+ bi) 2= 1 2+ 32 i を満たす (a, b) を求めると (a, b) = である.また, (a+b i) (b+a i)= 12i を満たしながら a b が動くとき a+b ia b2+ a2 bi の実部は一定であり,その値を求めると である.

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【1】    の中に答を入れよ.

(4)  a1= 1 an +1= a nan +2 n=1 2 3 を満たす数列 {an } の一般項は であり, an< 1100 となる最小の n の値は n = である.

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【1】    の中に答を入れよ.

(5)  0x π のとき,関数 y= 2sin x+3 cosx は最大値 をとり, y が最大値をとるときの x の値に対して sin 2x= である.

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【2】  OAB において, OA=1 OB=2 であり, AOB は直角である. OA =a OB = b とする.また,辺 OA t: (1-t ) に内分する点を P AB t: (1-t ) に内分する点を Q BO t: (1-t ) に内分する点を R とする.ただし, 0<t <1 である.

(1)  3 つのベクトル OP OQ OR をそれぞれ t a b で表せ.

(2)  PQR が直角になるような t の値を求めよ.

(3)  QR が最小になるような t の値を求めよ.

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2月11日実施

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【3】 関数 f (x)= xcos x-sin x+ 14 x2 を考える.

(1)  f(π ) を計算し,その符号を調べよ.

(2)  x0 のとき, f(x +2π )-f( x)>0 を示せ.

(3)  x0 のとき, f(x ) が最小値をとる x の値を求めよ.

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