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2009-14576-0601
2009 南山大学 数理情報学部B方式
2月11日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) 2 次関数 y= x2+ a⁢x- a のグラフは実数 a がどのような値であっても一定の点 ア を通る.このグラフが x 軸と共有点をもつような a の範囲は イ である.
2009-14576-0602
(2) 行列 A= (1 a a+1 2 ) がある. A の逆行列が存在しないような a の値を求めると a = ウ である.また, A⁢( - a3 4) =( 0 0 ) を満たす a の値を求めると a = エ である.
2009-14576-0603
(3) 2 つの実数 a ,b は正とする.また, i は虚数単位である. (a+ b⁢i) 2= 1 2+ 32 ⁢i を満たす (a, b) を求めると (a, b) = オ である.また, (a+b ⁢i)⁢ (b+a ⁢i)= 12⁢i を満たしながら a ,b が動くとき a+b⁢ ia⁢ b2+ a2⁢ b⁢i の実部は一定であり,その値を求めると カ である.
2009-14576-0604
(4) a1= 1 ,an +1= a nan +2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) を満たす数列 {an } の一般項は キ であり, an< 1100 となる最小の n の値は n = ク である.
2009-14576-0605
(5) 0≦x≦ π のとき,関数 y= 2⁢sin⁡ x+3⁢ cos⁡x は最大値 ケ をとり, y が最大値をとるときの x の値に対して sin⁡ 2⁢x= コ である.
2009-14576-0606
【2】 ▵OAB において, OA=1 ,OB=2 であり, ∠AOB は直角である. OA→ =a→ ,OB →= b→ とする.また,辺 OA を t: (1-t ) に内分する点を P , 辺 AB を t: (1-t ) に内分する点を Q , 辺 BO を t: (1-t ) に内分する点を R とする.ただし, 0<t <1 である.
(1) 3 つのベクトル OP → ,OQ → ,OR → をそれぞれ t ,a→ , b→ で表せ.
(2) ∠PQR が直角になるような t の値を求めよ.
(3) QR が最小になるような t の値を求めよ.
2009-14576-0607
【3】 関数 f⁡ (x)= x⁢cos⁡ x-sin⁢ x+ 14⁢ x2 を考える.
(1) f⁡(π ) を計算し,その符号を調べよ.
(2) x≧0 のとき, f⁡(x +2⁢π )-f( x)>0 を示せ.
(3) x≧0 のとき, f⁡(x ) が最小値をとる x の値を求めよ.