2009　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

(1)　$x={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\text{，}y=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}$のとき，$x+y$と$x^2-xy+y^2$の値を求めると$x+y=\boxed{\text{ア}}$であり，$x^2-xy+y^2=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y=(\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta )\cos \theta$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，このときの$\theta$は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　円$C:x^2+y^2-2y=0$と点$\mathrm{A}(-2,0)$がある．$\mathrm{A}$を通り$C$と接する直線の方程式は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と$2$点で交わり，その$2$点の距離が$1$のとき，その直線の傾きは$\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　四面体$\mathrm{PABC}$があり，$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である．この四面体のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，この球の半径を$r$とするとき，四面体$\mathrm{OPAB}$の体積$V$を$r$で表すと$V=\boxed{\text{キ}}$であり，$r$の値を求めると$r=\boxed{\text{ク}}$である．

(1)　$\mathrm{A}$における$F$の接線の方程式を求め，$p$と$r$の値を求めよ．

(2)　$C$の中心を$\mathrm{G}$とするとき，$\angle \mathrm{AGB}$を求めよ．

(3)　領域$x^2+{(y-p)}^2\geqq r^2$で$F$と$C$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．