2009 同志社大 理系学部2月4日実施

Mathematics

Examination

Test

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2009-14861-0101(解答は川村先生サイトで)

2009 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1)  3 次関数 f (x)= ax 3+b x2 +c x+d lim x1 f( x) x2- 1= 4 lim x- 1 f (x) x2 -1 =2 をみたすとき,定数 a b c d の値は a = b= c= d= である.

2009-14861-0102(解答は川村先生サイトで)

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2)  x -1 x3+ 1= α x+β x2 -x+1 +γ x+1 をみたす定数 α β γ を求めると, α= β= γ= である.よって, C を積分定数として x-1 x3 +1 d x= 13 log ( ) +C となる.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(3)  f(x )=e x2 の第 2 次導関数は f (x) =( ) ex 2 であり,第 4 次導関数は f (4) (x) =( ) ex2 である.

2009-14861-0104(解答は川村先生サイトで)

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全学部日程2月4日実施

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【2】 次の(1),(2)の問いに答えよ.

(1)  F(x )= 12 x+ 0x ( t-x) sint dt とおく.

(ⅰ) 導関数 F (x) および第 2 次導関数 F を求めよ.

(ⅱ)  0x π における F (x) の最大値と最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 次の(1),(2)の問いに答えよ.

(2)  E 2 次の単位行列として, 2 次の正方行列 A =( ab b c ) A 2=E をみたすとする.ただし, a b c は実数であり, b>0 とする.

(ⅰ)  a の値が取り得る範囲を求めよ.また, a の値がその範囲にあるとき, b および c a で表せ.

(ⅱ)  A( x 1 )= -( x 1 ) をみたす x a で表せ.

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【3】 定積分

In= 0 π 4 dx (cos x)n n=0 ±1 ±2

について次の問いに答えよ.

(1)  I0 I-1 I 2 を求めよ.

(2)  I1 を求めよ.

(3) 部分積分法を用いて,

nI n-( n+1) I n+2 +( 2) n= 0

が整数 n に対して成り立つことを示せ.

(4)  I-3 I -2 I3 を求めよ.

(5) 定積分 0 1 x2 +1 dx および 01 d x (x 2+1 )2 を求めよ.

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【4】 双曲線 C: x2- y 24 =-1 について次の問いに答えよ.

(1)  C の漸近線の方程式を記せ.

(2)  m を任意の実数として,直線 y =m x が曲線 C に接していないことを示せ.

(3) 点 A (3 ,0) を通る C の接線の方程式をすべて求めよ.

(4)  C 上にない点 P (p ,q) を通る C の接線がちょうど 2 本あって, 2 本の接線が直交するとき, p q がみたすべき条件を求めよ.