2009　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　数列$\{a_n\}$を$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．$b_n={\log }_2{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$b_{n+1}$は$b_n$を用いて$b_{n+1}=\boxed{\text{ア}}$と表され，数列$\{b_n\}$の一般項は$\boxed{\text{イ}}$となる．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$a\text{，}b$を実数の定数として，$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+2$とおく．複素数$1+i$が方程式$f(x)=0$の解となるのは$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}$のときであり，このとき，関数$y=f(x)$は$x=\boxed{\text{カ}}$で極小値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$1$から$36$までの異なる整数の書かれた$36$枚のカードの中から$3$枚のカードを同時に引くとき，引かれた$3$枚のカードの数の和が，$6$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$で，$12$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$で，$24$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^3-x)$とする．曲線$C:y=f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$(2,p)$を通り曲線$C$に接する直線が$3$本あるとき，$p$の値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$C$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{(x-3)}^3-(x-3)\}+2$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を$1$つの頂点とする$4$面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$がそれぞれ直交するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}l\text{，}m$を実数とする．空間の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}$とするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$k\text{，}l\text{，}m\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{OBC}$の面積を$S_2\text{，}▵\mathrm{OCA}$の面積を$S_3$とする．$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を用いて表せ．