2009　同志社大　文・経済学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(t-x)(t-2)dt$について，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$である．関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{イ}}$で極小値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．また，方程式$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}$の解で最大のものは$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$a<0$とする．平面上に直線$l:y=a(x-\sqrt{2})$と円$C:x^2+y^2=1$がある．$l$は$a$の値にかかわらず，点$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$を通り，$a=\boxed{\text{キ}}$のとき$C$と接する．また，$l$と$C$が異なる$2$点で交わるとき，$l$と原点との距離は$a$を用いて$\boxed{\text{ク}}$で表され，$2$つの交点の間の距離は$a$を用いて 　ケ　 で表される．さらに，$2$つの交点と原点を頂点とする三角形$A$を考え，$X={\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}$とすれば，$A$の面積は$X$を用いて$\boxed{\text{コ}}$で表され，$X=\boxed{\text{サ}}$のとき最大となる．このとき，$A$の外接円の方程式は$\boxed{\text{シ}}$となる．

【２】　$1080$の正の約数の個数を$n$とし，約数を小さい順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とする．${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とし，次の問いに答えよ．

(1)　$1080$の正の約数の個数$n$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\log }_{10}{a}_i$の値を求めよ．

(3)　${\log }_{10}({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i)$の値を求めよ．

【３】　不等式$y\geqq x^2$の表す領域に含まれ，かつ，中心が$y$軸上の$(0,a_i)$にある半径$r_i$の円$C_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を考える．ただし，$a_1=1\text{，}{a}_i<a_{i+1}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$とする．このとき，(条件１)と(条件２)を以下のように定める．

• (条件１)　$C_i$と$C_{i+1}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$は互いに外接する．
• (条件２)　$C_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$は放物線$y=x^2$と$2$点のみを共有する．

　次の問いに答えよ．

(1)　(条件１)のみを満たすとき，$r_{i+1}+r_i$を$a_i$と$a_{i+1}$を用いて表せ．

(2)　(条件２)のみを満たすとき，${r_i}^2$を$a_i$を用いて表し，$C_1$と放物線$y=x^2$の共有点の座標を求めよ．

(3)　(条件２)のみを満たすとき，${r_{i+1}}^2-{r_i}^2$を$a_i$と$a_{i+1}$を用いて表せ．

(4)　(条件１)と(条件２)を満たすとき，$r_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　(条件１)と(条件２)を満たすとき，$n$個の円の面積の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．