2009　同志社大　政策学部・文化情報学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　放物線$C:y=x^2$について，$C$上の点$\mathrm{P}(1,1)$における$C$の接線$l_1$の方程式は$\boxed{\text{ア}}$である．$\mathrm{P}$を通り，$l_1$と直交する直線$l_2$の方程式は$\boxed{\text{イ}}$であり，$l_2$と$C$の交点は$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．また，$\mathrm{Q}$における$C$の接線$l_3$と$l_1$の交点は点$\mathrm{R}(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$であり，三角形$\mathrm{PRQ}$の外接円の半径は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=x^3-3x+a=0$に関して，$a=\boxed{\text{ク}}$のときの解は，$x={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$である．また，$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための$a$の条件は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　次の和を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{5\cdot 7\cdot 9}+\cdots +\frac{\mathrm{!}}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}}$

(3)　${\displaystyle \frac{2}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{4}{3\cdot 5\cdot 7}+\frac{6}{5\cdot 7\cdot 9}+\cdots +\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}}$

【３】　$xy$平面上を原点$\mathrm{O}(0,0)$から出発して，$1$つのさいころを$1$回投げるごとに，その出た目$X$によって，次の規則で移動する点$\mathrm{P}$を考える．

• 1)　$X=1$のとき，$\mathrm{P}$が点$(i,j)$の位置にあるならば点$(i,j+1)$に移動する．
• 2)　$X=2$のとき，$\mathrm{P}$が点$(i,j)$の位置にあるならば点$(i,j-1)$に移動する．
• 3)　$X=3$のとき，$\mathrm{P}$が点$(i,j)$の位置にあるならば点$(i+1,j)$に移動する．
• 4)　$X=4$のとき，$\mathrm{P}$が点$(i,j)$の位置にあるならば点$(i-1,j)$に移動する．
• 5)　$X=5$または$X=6$のとき，$\mathrm{P}$は移動しない．

　さらに，$\mathrm{P}$が点$(i,j)$の位置にあるとき，$Y=|i+j|\text{，}Z=|i|$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$4$回投げた後に，$\mathrm{P}$が点$(1,1)$の位置にある確率を求めよ．

(2)　さいころを$2$回投げた後に，$Y=0$となる確率を求めよ．

(3)　さいころを$2$回投げた後の$Y$の期待値を求めよ．

(4)　さいころを$3$回投げた後の$Z$の期待値を求めよ．