2009 同志社大 理系学部2月7日実施

Mathematics

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2009 同志社大学 文化情報学部理系,生命医科学部理系

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1)  0 1 2 3 4 5 つの数字を使って 4 桁の整数を作る.ただし,同じ数字は 2 度以上使わないものとする.このようにして作られる整数は全部で 個あり,これらの整数のなかで 3 の倍数は 個, 9 の倍数は 個, 3240 以下のものは 個ある.また, 0 1 2 3 4 5 つの数字を使って作られる 4 桁の整数を全て加えると となる.( で作られる整数の総和.)

2009 同志社大学 文化情報学部理系,生命医科学部理系

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2) 平面上に三つの定点 O A B OAB の面積が 1 であるようにとる. OA =a OB = b とおき, s t 0 をみたす実数 s t に対して, OP =s a +t b で点 P を定める. s t 1 s+ t2 をみたすとき, P が存在する領域 D の面積は であり, 1s +2 t3 をみたすとき点 P が存在する領域 E の面積は となる.また,位置ベクトルが 2 a 3 a である点をそれぞれ M M とし,位置ベクトルが 32 b 2 b である点をそれぞれ N N とするとき,直線 M N と直線 M N の交点を C とおけば,点 C は線分 M N 1 : に内分する.したがって,領域 D E の面積は であり,領域 D E の面積は である.

2009-14861-0503(解答は川村先生サイトで)

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易□ 並□ 難□

【2】 次の(1),(2)の問いに答えよ.

(1)  a1> 4 として,漸化式 a n+1 =a n+12 で定められる数列 { an } を考える.

(ⅰ)  n=2 3 4 に対して,不等式 a n>4 がなりたつことを示せ.

(ⅱ)  n=1 2 3 に対して,不等式 a n+1 -4< 1 8 (an -4 ) がなりたつことを示せ.

(ⅲ)  limn an を求めよ.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【2】 次の(1),(2)の問いに答えよ.

(2) 実数 x y に対して, max( x,y ) を以下で定める.

max( x,y) ={ x xy のとき) y x <y のとき)

(ⅰ)  xy 平面上で不等式 max (x,y )2 y が表す領域を図示せよ.

(ⅱ)  xy 平面上で不等式 max (x,y )x 2+y 2 が表す領域の面積を求めよ.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【3】  2 次の正方行列 P

P=( 2 1 )= ( 2 1 ) P( 1 2 )= ( 0 0 )

をみたすとき,次の問いに答えよ.ただし, E 2 次の単位行列である.

(1)  P を求めよ.また P 2-P を求めよ.

(2)  Q=E- P とおくとき, Q2 -Q を求めよ.また P Q Q P を求めよ.

(3)  α β を相異なる実数として, 2 次正方行列 R =α P+β Q

R2- 7R+ 12E= ( 00 0 0 )

をみたすとき, α β を求めよ.ただし, α> β とする.

(4)  (2 P+ 3Q )n =2n P +3n Q n =1 2 であることを示せ.

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易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x)= 6x (1- x) に対して,正の定数 c および 1 次関数 g (x )=a x+b a b は定数で a >0 が,次の 3 つの条件をみたすとする.

c2 01 f (x )dx =1 01 f (x) { g(x )}2 dx =1 01 f (x) g( x)d x=0

 このとき,次の問いに答えよ.

(1) 定数 a b c を求めよ.

(2) 自然数 n に対して In = 01 xn ex dx とおく. In+ 1 I n で表せ.また, I1 I2 I3 を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.

(3) 定積分 01 ex f(x )dx および 01 e xf (x )g (x )d x を求めよ.

(4) 実数 s t に対して, J= 0 1 { ex -c s-t g( x) }2 f (x) dx と定義するとき, J=A s2 +B st+ Ct 2+D s+E t+F とおいて,定数 A B C D E を求めよ.(定数 F は求める必要はない.)

(5)  J が最小となるような s t の値を求めよ.