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2009-14861-0501
2009 同志社大学 文化情報学部理系,生命医科学部理系
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 0 ,1 ,2 ,3 ,4 の 5 つの数字を使って 4 桁の整数を作る.ただし,同じ数字は 2 度以上使わないものとする.このようにして作られる整数は全部で ア 個あり,これらの整数のなかで 3 の倍数は イ 個, 9 の倍数は ウ 個, 3240 以下のものは エ 個ある.また, 0 ,1 , 2 ,3 , 4 の 5 つの数字を使って作られる 4 桁の整数を全て加えると オ となる.( オ は ア で作られる整数の総和.)
2009-14861-0502
(2) 平面上に三つの定点 O ,A ,B を ▵ OAB の面積が 1 であるようにとる. OA→ =a → ,OB →= b→ とおき, s ,t ≧0 をみたす実数 s , t に対して, OP→ =s⁢ a→ +t⁢ b→ で点 P を定める. s ,t が 1 ≦s+ t≦2 をみたすとき, P が存在する領域 D の面積は カ であり, 1≦s +2⁢ t≦3 をみたすとき点 P が存在する領域 E の面積は キ となる.また,位置ベクトルが 2 ⁢a → ,3 ⁢a→ である点をそれぞれ M , M′ とし,位置ベクトルが 32 ⁢b→ , 2⁢ b→ である点をそれぞれ N , N′ とするとき,直線 M N′ と直線 M ′N の交点を C とおけば,点 C は線分 M N′ を 1 : ク に内分する.したがって,領域 D ∩E の面積は ケ であり,領域 D ∪E の面積は コ である.
2009-14861-0503
【2】 次の(1),(2)の問いに答えよ.
(1) a1> 4 として,漸化式 a n+1 =a n+12 で定められる数列 { an } を考える.
(ⅰ) n=2 , 3 ,4 , ⋯ に対して,不等式 a n>4 がなりたつことを示せ.
(ⅱ) n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対して,不等式 a n+1 -4< 1 8 (an -4 ) がなりたつことを示せ.
(ⅲ) limn →∞ ⁡ an を求めよ.
2009-14861-0504
(2) 実数 x, y に対して, max⁡( x,y ) を以下で定める.
max⁡( x,y) ={ x ( x≧y のとき) y ( x <y のとき)
(ⅰ) xy 平面上で不等式 max⁡ (x,y )≦2 ⁢y が表す領域を図示せよ.
(ⅱ) xy 平面上で不等式 max⁡ (x,y )≧x 2+y 2 が表す領域の面積を求めよ.
2009-14861-0505
【3】 2 次の正方行列 P が
P=( 2 1 )= ( 2 1 ) , P⁢( 1 2 )= ( 0 0 )
をみたすとき,次の問いに答えよ.ただし, E は 2 次の単位行列である.
(1) P を求めよ.また P 2-P を求めよ.
(2) Q=E- P とおくとき, Q2 -Q を求めよ.また P ⁢Q と Q ⁢P を求めよ.
(3) α ,β を相異なる実数として, 2 次正方行列 R =α⁢ P+β ⁢Q が
R2- 7⁢R+ 12⁢E= ( 00 0 0 )
をみたすとき, α ,β を求めよ.ただし, α> β とする.
(4) (2 ⁢P+ 3⁢Q )n =2n ⁢P +3n ⁢Q ( n =1 ,2 , ⋯) であることを示せ.
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【4】 関数 f⁡ (x)= 6⁢x ⁢(1- x) に対して,正の定数 c および 1 次関数 g ⁡(x )=a⁢ x+b ( a ,b は定数で a >0 ) が,次の 3 つの条件をみたすとする.
c2⁢ ∫01 ⁡f ⁡(x )⁢dx =1 , ∫01 ⁡f ⁡(x) ⁢{ g⁡(x )}2 ⁢dx =1 , ∫01 ⁡f ⁡(x) ⁢g⁡( x)⁢d x=0
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定数 a ,b ,c を求めよ.
(2) 自然数 n に対して In = ∫01 ⁡ xn⁢ ex⁢ dx とおく. In+ 1 を I n で表せ.また, I1 , I2 , I3 を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.
(3) 定積分 ∫01 ⁡ ex⁢ f⁡(x )⁢dx および ∫01 ⁡e x⁢f ⁡(x )⁢g ⁡(x )⁢d x を求めよ.
(4) 実数 s , t に対して, J= ∫0 1⁡ { ex -c⁢ s-t⁢ g⁡( x) }2 ⁢f⁡ (x)⁢ dx と定義するとき, J=A ⁢s2 +B⁢ s⁢t+ C⁢t 2+D ⁢s+E ⁢t+F とおいて,定数 A , B ,C , D ,E を求めよ.(定数 F は求める必要はない.)
(5) J が最小となるような s , t の値を求めよ.