2009　同志社大　法学部・スポーツ健康科学部2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　関数$f(x)=4^x-2^x-6$は$x=\boxed{\text{ア}}$のとき，最小値$\boxed{\text{イ}}$をとり，$y=(x)$のグラフは$x$軸と点$(\boxed{\text{ウ}},0)$で交わる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$f(\theta )=\sin \theta +2\cos \theta$とする．$f(\theta )$の周期は$2\pi$であり，最大値は$\boxed{\text{エ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$3f(4\theta )$の周期は$\boxed{\text{カ}}$であり，最大値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$9$枚の異なるカードを$2$枚，$3$枚，$4$枚の$3$組に分ける分け方は$\boxed{\text{ク}}$通りである．また，$1$枚，$4$枚，$4$枚の$3$組に分ける分け方は$\boxed{\text{ケ}}$通りであり，$3$枚ずつの$3$組に分ける分け方は$\boxed{\text{コ}}$通りである．

【２】　$a>0$として，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}(8a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,6a)$をとる．点$C$は第$1$象限にあり，$\mathrm{OC}=5a\text{，}\mathrm{AC}=7a$を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$y=-(6a-\sqrt{3})x+6a$と直線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$▵\mathrm{PBC}$の面積$S$を$a$を用いて表せ．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{C}$が一致するときは$S=0$とする．

(3)　$a$が$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$の範囲で動くときの$S$の最大値を求めよ．

【３】　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$がある．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\text{，}{b}_1=2\\ a_{n+1}=3a_n+4b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=2a_n+3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

このとき，ある正の定数$s$に対して，$x_n=a_n+s{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{x_n\}$が公比$r$の等比数列になる．次の問いに答えよ．

(1)　$r\text{，}s$の値をそれぞれ求めよ．また，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$y_n={a_n}^2-s^2{b_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$0<{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}-s<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{{b_n}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となることを示せ．