2009　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$xy$平面に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(14,0)\text{，}\mathrm{B}(5,12)$がある．線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$であるから，$▵\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{M}$の座標は$(7,\boxed{\text{ウ}})$である．次に，$\angle \mathrm{AOB}=2\alpha$とおくと，$\tan 2\alpha =\boxed{\text{エ}}$であるから，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の傾きは$\tan \alpha =\boxed{\text{オ}}$である．同様に，$\angle \mathrm{OAB}=2\beta$とおくと，$\tan \beta =\boxed{\text{カ}}$であるから，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$となる．したがって，$▵\mathrm{OAB}$の内心$\mathrm{N}$の座標は$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えよ．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$として，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線$l$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{S}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{T}$とおく．

(ⅰ)　$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$の座標を$a$で表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{ST}$の長さを$L$とおくとき，$L$を$a$で表せ．

(ⅲ)　$L$の最小値を求めよ．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えよ．

(2)　$g(x)=\sqrt{2+x}\text{（}x\geqq -2\text{）}$とする．

(ⅰ)　関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求め，その定義域を示せ．

(ⅱ)　$2$つの曲線$y=g(x)\text{，}y=g^{-1}(x)$および直線$y=\sqrt{2}-x$で囲まれた図形を図示せよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で図示した図形の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を定数として$F(x)=e^{-x}(a\cos x+b\sin x)$とおく．導関数$F^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx$を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$の範囲で，$x$軸と曲線$y=e^{-x}\sin x$で囲まれる図形の面積を$a_n$とおく．$a_n$を$n$で表せ．

(4)　(3)で求めた$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$について${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【４】　$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．第$1$象限にある曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．次に，$l$上の点$\mathrm{Q}$から，$C$上の点$\mathrm{R}$で$C$に接する$l$とは異なる接線$m$を，$\angle \mathrm{PQR}=\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるように引く．ただし，$\mathrm{Q}$の$y$座標は$\mathrm{P}$の$y$座標より大きいものとする．接線$l\text{，}m$と$x$軸との交点をそれぞれ，$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とし，$\angle \mathrm{SOP}=\theta$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　接点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．また，直線$l$の方程式を求め，点$\mathrm{S}$の座標を$\theta$で表せ．

(2)　点$\mathrm{R}$および点$\mathrm{T}$の座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\theta$で表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$が第$2$象限にあるための$\theta$の範囲を$\alpha$で表せ．

(4)　線分$\mathrm{OQ}$の長さが$\theta$によらないことを示し，その長さを$\alpha$で表せ．

(5)　$▵\mathrm{SQT}$の面積$A$を$\alpha \text{，}\theta$で表せ．

(6)　$\alpha$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で固定する．$\theta$が(3)で求めた範囲で動くとき，$▵\mathrm{SQT}$の面積$A$の最小値を求めよ．またそのときの$\theta$を$\alpha$で表せ．