2009　同志社大　文化情報学部公募制推薦MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2^{2009}$の$10$進表記での桁数を求めよ（${\log }_{10}2=0.3010299956$）．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$ 辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$n$を自然数とする．数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ．

$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　袋の中に白玉$6$個，黒玉$5$個，赤玉$4$個が入っている．この袋から$3$個の玉をとり出すとき，とり出す玉が白玉と黒玉である，つまり，少なくとも$1$つ以上の白玉と黒玉を含み，赤玉を含まない確率を求めよ．

【２】　$2$つの放物線$A:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}B:y=x^2-4x+b$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$と$B$が$2$点で交わるための$b$の条件を求めよ．

(2)　$b=-1$のとき，$A$と$B$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　$A$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$における$A$の接線を$l$とする．$b=-1$のとき，$l$と$B$が$2$点で交わるための$a$の条件を求めよ．

(4)　$A$が(3)で求めた条件を満たし，$b=-1$のとき，$l$と$B$で囲まれた部分の面積$S$を$a$で表せ．

(5)　$S$の最大値を求めよ．