2009　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　$n$を$0$以上の整数とし，不等式$x+2y\leqq n$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の個数を$M(n)$とする．

(1)　$M(1)=\boxed{\text{ア}}\text{，}M(2)=\boxed{\text{イ}}\text{，}M(3)=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$M(n+1)-M(n)$は$x+2y=n+1$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の個数であるから，$0$以上の整数$m$について

• $M(2m+1)-M(2m)=\boxed{\text{エ}}\text{，}$
• $M(2m+2)-M(2m+1)=\boxed{\text{オ}}$

となる．これら$2$式より，

• $M(2m)=\boxed{\text{カ}}\text{，}$
• $M(2m+1)=\boxed{\text{キ}}$

である．

　したがって，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M(n)}{n^2}}=\boxed{\text{ク}}$

となる．

　（注：$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$には$m$を用いた式を記せ．）

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(a,b)$と$\mathrm{B}(c,d)$をとり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点を$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は一直線上にないとする．また，正の数$p\text{，}q$（ただし，$p>q$とする）に対して，行列$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& p\end{array}\right)$で表される移動（$1$次変換ともいう）を$f$とし，$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$f$でそれぞれ点$\mathrm{D}$と$\mathrm{E}$に移動したとする．

(1)　平行四辺形$\mathrm{OACB}$の面積$S_1$は，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて，$S_1=\boxed{\text{ケ}}$と表され，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$によって点$\mathrm{F}$を定め，平行四辺形$\mathrm{ODFE}$の面積を$S_2$とおくと，$p\text{，}q$を用いて，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=\boxed{\text{コ}}$となる．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるから$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$\boxed{\text{サ}}=0$を満たす．このことと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が垂直であることより，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はもう$1$つの関係式$\boxed{\text{シ}}=0$を満たす．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{ス}}\text{，}$または$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{セ}}$

であり，

• $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{ス}}$であれば，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{ソ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\left(\boxed{\text{タ}}\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，
• $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{セ}}$であれば，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{チ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\left(\boxed{\text{ツ}}\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

となる．

　（注：$\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$には$a$を用いた成分表示，$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}$には$c$を用いた成分表示，$\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$には$p\text{，}q$を用いた式を記せ．）

【３】　$a\text{，}b$を実数とし， $\alpha =a+bi$とおき，$\bar{\alpha }$を$\alpha$と共役な複素数とする．ただし，$i$は虚数単位で，$b>0$とする．$r\text{，}s$を$r\ne 0$または$s\ne 0$となる実数とし，実数$a^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }$を，

• $a^{\prime }=ar+bs$，
• $b^{\prime }=as-br$

で定め，$\beta =a^{\prime }+b^{\prime }i$とおき，$\bar{\beta }$を$\beta$と共役な複素数とする．

　$2$つの$2$次式$f(x)\text{，}g(x)$を

• $f(x)=(x-\alpha )(x-\bar{\alpha })$，
• $g(x)=(x-\beta )(x-\bar{\beta })$

とし，すべての実数$x$に対して$f(x)=g(x)$となっているとする．$\boxed{\text{テ}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$には$a\text{，}b$または数値を用いて記せ．

　$f(x)=g(x)$より，$a^{\prime }=\boxed{\text{テ}}$であり，

$b^{\prime }>0$とすれば$b^{\prime }=\boxed{\text{ト}}\text{，}{b}^{\prime }<0$とすれば$b^{\prime }=\boxed{\text{ナ}}$

である．

$b^{\prime }=\boxed{\text{ト}}$のとき，$r=\boxed{\text{ニ}}\text{，}s=\boxed{\text{ヌ}}$

となり，

$b^{\prime }=\boxed{\text{ナ}}$のとき，$r=\boxed{\text{ネ}}\text{，}s=\boxed{\text{ノ}}$

となる．また，複素数$w=u+vi\text{（}u\text{，}v$は実数）に対して，$u^{\prime }\text{，}{v}^{\prime }$を

• $u^{\prime }=ur+vs\text{，}$
• $v^{\prime }=us-vr$

と定め，$w^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }i$とおく．$\bar{w}$を$w$と共役な複素数とすれば，

• $b^{\prime }=\boxed{\text{ト}}$のとき，$w^{\prime }=(\boxed{\text{ハ}})\bar{w}\text{，}$
• $b^{\prime }=\boxed{\text{ナ}}$のとき，$w^{\prime }=(\boxed{\text{ヒ}})\bar{w}$

となる．なお，$\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヒ}}$には，$\alpha \text{，}\bar{\alpha }$または数値を用いて表せ．

【４】　$n$を自然数とし，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}x|\cos (2n+1)x|dx$

とおく．

　$t=(2n+1)x$とおくと，$x$と$t$の対応は右表のようになり，このとき，

$I_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヘ}}}}{\displaystyle {\int }_0^{\boxed{\text{フ}}}}t|\cos t|dt$

となる．さて，

${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}t|\cos t|dt=\boxed{\text{ホ}}$

であり，$k$が自然数のとき

${\displaystyle {\int }_{(k-{\displaystyle \frac{1}{2}})n}^{(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})n}}t|\cos t|dt=\boxed{\text{マ}}$

であるから，

${\displaystyle {\int }_0^{\boxed{\text{フ}}}}t|\cos t|dt=\boxed{\text{ミ}}$

となる．したがって，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\boxed{\text{ム}}$

である．

　（注：$\boxed{\text{フ}}\text{〜}\boxed{\text{ム}}$には$n$または$k$を用いた式，または数値を記せ．）