2009　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$4x^2+kx+1=0$の$2$つの解が$\sin \theta \text{，}\cos \theta$であるとき，定数$k$の値は$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$（$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$）であり，このうち$\sin \theta >0\text{，}\cos \theta >0$となるときの$k$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　サイコロを$1$回投げて，奇数の素数の目が出たら$1$点を加点し，その他の目が出たら加点しないゲームを繰り返し行う．いま最初の持ち点を$2$点とし，$n$回サイコロを投げたときの総得点が偶数である確率を$P_n$とする．

　$n+1$回サイコロを投げたときの総得点が偶数である確率$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと$P_{n+1}=\boxed{\text{エ}}{P}_n+\boxed{\text{オ}}$となる．この式を，定数$\alpha$を用いて$P_{n+1}-\alpha =\boxed{\text{エ}}(P_n-\alpha )$と変形するとき$\alpha =\boxed{\text{カ}}$である．

　いま$Q_n=P_n-\alpha$とすると，$P_1=\boxed{\text{キ}}$より数列$\{Q_n\}$は初項$\boxed{\text{ク}}$，公比$\boxed{\text{ケ}}$の等比数列となり，$Q_n$を$n$の式で表すと$Q_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}\cdot {\boxed{\text{サ}}}^n}}$である．

　よって，$P_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}\cdot {\boxed{\text{サ}}}^n}}+\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】

(3)　$\overrightarrow{a}=(-4,3)\text{，}\overrightarrow{b}=(3,1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$の値は$\boxed{\text{シ}}$で，そのときの最小値は$\boxed{\text{ス}}$である．また，このときベクトル（$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$）とベクトル$\overrightarrow{b}$とのなす角を$\theta$とすると$\theta =\boxed{\text{セ}}$である．

【２】　ある工場においてこれまで人手で行っていた作業を機械化することを検討している．この工作機を導入するのに$300$万円の費用が必要となり，全額を銀行から$1$年ごとの福利で年利$10\%$の借り入れを行い，$5$年後に元利合計を一括返済する予定である．また，この工作機を導入するとこれまで手作業に従事していた$1$名のアルバイト従業員を雇用する必要がなくなるという．このアルバイト従業員の年間給与は毎年初めに前年の給与に対して$5\%$の割合で昇給をしてきており，工作機を導入しようとする年の年間給与は$150$万円になる予定である．なお，銀行からの資金の借り入れおよび工作機の導入，アルバイト従業員の雇用の終了は，年の初めに同時期に行うものとする．

　ただし，$\boxed{\text{ソ}}$は指数表記を用いずに値を求め，$\boxed{\text{テ}}$と$\boxed{\text{ト}}$は小数第$3$位を四捨五入し小数第$2$位まで求めること．また，必要に応じて次の常用対数表を用いよ．

(1)　$5$年後に銀行へ一括返済する総返済額は元利合計で$\boxed{\text{ソ}}$円となる．

(2)　工作機導入後もアルバイト従業員を雇用し続けたと仮定した場合のアルバイト従業員への給与累計額が，工作機導入により削減できる人件費とする．工作機導入から経過した年数を$n$年とし，削減できる人件費を$f(n)$万円とすると，

$f(n)=\boxed{\text{タ}}({\boxed{\text{チ}}}^{\boxed{\text{ツ}}}-1)$

となる．

(3)　投資効果を検討するために，削減できる人件費が銀行への総返済額を上回る年数を求めたい．銀行への総返済額を$X$万円とすると，$f(n)>X$を満たす$n$を求めればよい．$f(n)>X$を整理すると

${\boxed{\text{チ}}}^{\boxed{\text{ツ}}}>\boxed{\text{テ}}$

となる．両辺の常用対数をとり整理すると

$n>\boxed{\text{ト}}$

となる．この条件を満たす$n$の最小の整数は$\boxed{\text{ナ}}$である．

常用対数表

【３】　放物線$y=x^2$と$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(t,0)\text{，}\mathrm{B}(t,4t)\text{，}\mathrm{C}(0,4t)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$がある．ただし，$t>0$とする．長方形$\mathrm{OABC}$の内部にあって，$y\leqq x^2$を満たす領域を$S$とし，その面積を$S(t)$とするとき，つぎの問いに答えよ．

(1)　$S(2)$を求めよ．

(2)　$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$が長方形$\mathrm{OABC}$の面積のちょうど半分となる$t$の値を求めよ．