2009　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　集団検診で$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$種の検査を$100$人を対象におこなった．受診者のうち，$\mathrm{A}$検査に$86$人，$\mathrm{B}$検査に$92$人，$\mathrm{C}$検査に$78$人が合格した．これらのうち，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$二つの検査に$73$人，$\mathrm{C}$と$\mathrm{A}$二つの検査に$70$人，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$二つの検査に$84$人が合格し，$3$種いずれの検査にも合格しなかったのは$3$人であった．$3$種の検査のすべてに合格したのは$\boxed{\text{ア}}$人である．

【１】

(2)　$3$次関数$f(x)=a{x}^3-6a{x}^2+b\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$の最大値が$20\text{，}$最小値が$-12$であるような定数$a\text{，}b$の値は，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$または，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}$は$\boxed{\text{エ}}$より大きい数とする．

【１】

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする平面上に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．

　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が作る三角形が次の条件

• $\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\cdots \text{①}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}\cdots \text{②}$

をみたすとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\boxed{\text{カ}}$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$\boxed{\text{キ}}°$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(4)　$1$枚のコインを$n$回投げ，そのうち$i$回表が出れば，$2^i$点の得点が得られるゲームを行う．このゲームにおいて得られる得点の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

　ただし，コインの両面の出る確率は等しいとする．

【１】

(5)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$をみたす数列$\{a_n\}$がある．この数列の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　地球を球体と考える．

(1)　図１に示すように人工衛星$\mathrm{S}$が，地球の中心を回転の中心として，反時計回りに等速円運動をする．そして$T$時間で一周するものとする．地球の半径を$R\text{，}\mathrm{S}$の地表からの高度を$h$とし，座標軸を図１のようにとる．$\mathrm{S}$の大きさや地球の自転は考えない．$\mathrm{S}$が$x$軸上の点$\mathrm{P}$を通過してから$t$時間後に，動径$\mathrm{OS}$が$x$軸の正の向きとなす角$\theta$は$\boxed{\text{サ}}$ラジアンであり，$\mathrm{S}$の座標は$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}y=\boxed{\text{ス}}$となる．

(2)　図２のように地上の点$\mathrm{E}$に接する直線を引き，$\mathrm{S}$の円軌道との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{E}$から$\mathrm{S}$が見え始めるのは，$\mathrm{S}$が点$\mathrm{A}$に到達したときであり，点$\mathrm{B}$を通過すると見えなくなる．$\mathrm{S}$が点$\mathrm{A}$に来たときに，動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を${\theta }_{\mathrm{A}}$とすると，$\sin {\theta }_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{セ}}$である．$h=R$のとき${\theta }_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{ソ}}$ラジアンとなり，$\mathrm{S}$が点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$に到達するまでの時間は$\boxed{\text{タ}}$時間である．

　次に，$\mathrm{S}$が点$\mathrm{C}$に来たときを考える．このとき地上の点$\mathrm{E}$から見上げた角を$\alpha$（ラジアン）とし，動径$\mathrm{OC}$が$x$軸の正の向きとなす角を${\theta }_{\mathrm{C}}$とする．${\theta }_{\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$（ラジアン）で$h=R$のとき$\tan \alpha =\boxed{\text{チ}}$となる．さらに$\mathrm{S}$が移動し，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$（ラジアン）で$h=R$のとき，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$x=\boxed{\text{ツ}}$であり，$\tan {\theta }_{\mathrm{C}}=\boxed{\text{テ}}$となる．

【３】　$a$を実数とし，曲線$y=x|2-x|\cdots \text{①}$と直線$y=ax\cdots \text{②}$について考える．

(1)　曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$が異なる$3$点で交わるための$a$の値の範囲は，$\boxed{\text{ト}}<a<\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$\boxed{\text{ト}}<a<\boxed{\text{ナ}}$のとき，曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$の交点を$x$座標の小さいものから順に，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする（$\mathrm{O}$は原点）．このとき，点$\mathrm{A}$の$x$座標は$\boxed{\text{ニ}}$，点$\mathrm{B}$の$x$座標は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(3)　$0\leqq x\leqq \boxed{\text{ニ}}$の範囲で，曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$に囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$の式で表すと，$S_1={\displaystyle \frac{1}{6}}{(\boxed{\text{ネ}})}^3$である．また，$\boxed{\text{ニ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ヌ}}$の範囲で，曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$に囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$の式で表すと，$S_2=\boxed{\text{ノ}}{a}^2$である．

(4)　$S=S_1+S_2$とおくと，$S=\boxed{\text{ハ}}{a}^3+\boxed{\text{ヒ}}{a}^2+\boxed{\text{フ}}a+\boxed{\text{ヘ}}$と表せる．$S$の値が最小になる$a$の値は，$a=\boxed{\text{ホ}}$である．

【４】　平面上で，同一直線上にない$3$点を$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．ただし$\mathrm{O}$は原点である．${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を以下の規則で決める．

• (1)　線分${\mathrm{Q}}_{n+2}{\mathrm{P}}_{n+1}$を$5:1$に内分する点が${\mathrm{P}}_n$となるように${\mathrm{Q}}_{n+2}$をとる．
• (2)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}$を$5:2$に内分する点を${\mathrm{R}}_{n+2}$とする．
• (3)　直線$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_{n+2}$と直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{R}}_{n+2}$の交点を${\mathrm{P}}_{n+2}$とする．

　点${\mathrm{P}}_n\text{，}$点${\mathrm{Q}}_n\text{，}$点${\mathrm{R}}_n$を表す位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{p_n}\text{，}\overrightarrow{q_n}\text{，}\overrightarrow{r_n}$とする．このとき$\overrightarrow{q_{n+2}}\text{，}\overrightarrow{r_{n+2}}$を$\overrightarrow{p_{n+1}}$と$\overrightarrow{p_n}$で表すと，$\overrightarrow{q_{n+2}}=\boxed{\text{マ}}\text{，}\overrightarrow{r_{n+2}}=\boxed{\text{ミ}}$である．

　さらに，$\overrightarrow{p_{n+2}}$を$\overrightarrow{p_{n+1}}$と$\overrightarrow{p_n}$で表すと，$\overrightarrow{p_{n+2}}=\boxed{\text{ム}}$である．

　このとき，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{p_{n+1}}-3\overrightarrow{p_n}$とすると，$\overrightarrow{a_{n+1}}=\boxed{\text{メ}}\overrightarrow{a_n}$となり，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{p_{n+1}}-\boxed{\text{メ}}\overrightarrow{p_n}$とすると，$\overrightarrow{b_{n+1}}=3\overrightarrow{b_n}$となる．

　よって，$\overrightarrow{a_n}$と$\overrightarrow{b_n}$の一般項を$\overrightarrow{p_1}$と$\overrightarrow{p_2}$を用いて表せば，$\overrightarrow{a_n}=\boxed{\text{モ}}\text{，}\overrightarrow{b_n}=\boxed{\text{ヤ}}$となる．これより，$\overrightarrow{p_n}=\boxed{\text{ユ}}\overrightarrow{p_2}+\boxed{\text{ヨ}}\overrightarrow{p_1}$となる．