2009　立命館大　文系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$1$以上$100$以下の整数を全体とする集合がある．この集合の要素で$3$で割り切れない整数の和は$\boxed{\text{ア}}$で，$10$で割ると$3$余る整数の和は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$3$の倍数と$3$の数字がつく数（たとえば，$13\text{，}32$など）を除いた整数の総和は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$3\mathrm{AB}=\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}=3\text{，}\mathrm{DA}=2\text{，}\cos \angle \mathrm{ABC}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとき，$\cos \angle \mathrm{ADC}$の値は$\boxed{\text{エ}}$，線分$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{オ}}$である．また，辺$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$で，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値は$\boxed{\text{キ}}$，線分$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)　平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円がある．この円に内接する正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ただし，$\alpha \text{，}\beta$は$0$でない実数とする）とおく．

　このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$

であるから，$\alpha \text{，}\beta$の関係式は$\theta$を用いて

$\boxed{\text{ケ}}\alpha +\boxed{\text{コ}}\beta =\boxed{\text{サ}}\cdots \text{①}$

となる．

　同様に，

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

であるから，$\alpha \text{，}\beta$の関係式は$\theta$を用いて

$\boxed{\text{シ}}\alpha +\boxed{\text{ス}}\beta =\boxed{\text{セ}}\cdots \text{②}$

となる．

　$\text{①}\text{，}\text{②}$より

$\alpha =\boxed{\text{ソ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{タ}}$

である．

　したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

　以下同様にして，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を他の二つのベクトルの和であらわすと，それらのベクトルの和は

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\boxed{\text{チ}}$

である．

【２】　ある町にアリスとボブがいる．この町に新しい道路を敷くことになった．新しく造る道路が長ければ長いほどアリスもボブも生活しやすくkなり満足度は高まる．しかし道路を造るにはアリスとボブが建設費用を拠出しないといけない．新しく建設される道路の規模を$z$とし，建設費用を拠出した後のアリス，ボブの所得をそれぞれ$x_{\mathrm{A}}\text{，}{x}_{\mathrm{B}}$とする．アリスの満足値（満足の大きさ）は$u_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{A}}z$と表され，ボブの満足値も同様に$u_{\mathrm{B}}=x_{\mathrm{B}}z$と表されるとする．アリスとボブは拠出前に所得をそれぞれ$50$と$30$だけ持っている．また建設する道路の規模が$z$のとき建設費用は$4z$である．

(1)　まずアリスとボブの満足値の和が最大になるような道路の規模を求める．満足値の和は$x_{\mathrm{A}}\text{，}{x}_{\mathrm{B}}$を用いず$z$で表すと$u_{\mathrm{A}}+u_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ツ}}$となる．よって満足値の和を最大にする道路の規模は$z=\boxed{\text{テ}}$でそのときの満足値の和は$\boxed{\text{ト}}$となる．

(2)　次にアリスとボブの拠出額を決める．町は次のような方法を考えた．

「アリスとボブの道路の建設費用の負担比率$\theta :(1-\theta \text{（}0<\theta <1\text{）}$を先に決め，その比率の下でアリスとボブが希望する道路の規模を申告させ，両者の望む規模が一致する負担比率を実際に課す．」

　負担比率が$\theta :(1-\theta )$のとき，アリスとボブのそれぞれの満足値を最大にする道路の規模は，$\theta$を用いて表すと，$z=\boxed{\text{ナ}}$および$z=\boxed{\text{ニ}}$となる．両者の希望する道路の規模が一致するような負担比率は$\theta =\boxed{\text{ヌ}}$となる．またこのときの道路の規模は$z=\boxed{\text{テ}}$となり，アリスとボブの満足値の和を際偉大にする道路の規模と一致する．

【３】　$x$の$3$次関数$f(x)$は次の式を満たしている．

$f(x)=m{x}^3-m{x}^2+2mx+m$$+{\displaystyle {\int }_0^x}\{t{f}^{\prime }(t)-3f(t)\}dt$$\text{（}m\text{は正の定数）}$

(1)　$f(x)$を$x$と$m$で表せ．

(2)　関数$f(x)$の極値を$m$で表せ．

(3)　関数$f(x)$の極小値が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$m$の値を求めよ．