2009　立命館大　理系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ b& 1-b\end{array}\right)$とする．

(1)　$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式が，行列を用いて

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\cdots \text{①}$

と表されているとする．連立$1$次方程式$\text{①}$がただ$1$つの解をもつための必要十分条件は$\boxed{\text{ア}}$であり，$\text{①}$が解をもたないための必要十分条件は$\boxed{\text{イ}}$であり，$\text{①}$が解を無数にもつための必要十分条件は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$a\text{，}b$を正の数とする．このとき，行列$A$は

$A^2+(\boxed{\text{エ}})A+(\boxed{\text{オ}})E=O$

を満たす．ただし，$E$は$2$次の単位行列で，$O$は$2$行$2$列の零行列である．$t$についての$2$次方程式

$t^2+(\boxed{\text{エ}})t+\boxed{\text{オ}}=0$

は解$t=\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$をもつ（ただし$\boxed{\text{カ}}>\boxed{\text{キ}}$とする）．

　$t=\boxed{\text{カ}}$のとき，$x$と$y$に関する連立$1$次方程式

$(A-(\boxed{\text{カ}})E)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

を満たす組$(x,y)$で$x^2+y^2=1$かつ$x>0$となるものは$(x,y)=\boxed{\text{ク}}$である．

　また，$t=\boxed{\text{キ}}$のとき，$x$と$y$に関する連立$1$次方程式

$(A-(\boxed{\text{キ}})E)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

を満たす組$(x,y)$で$x^2+y^2=1$かつ$x>0$となるものは$(x,y)=\boxed{\text{ケ}}$である．

　なお，$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$には行列を用いず，$a\text{，}b$を用いた式を記せ．

【２】　座標平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$によって

$x={\displaystyle \frac{1}{5}}(4t-3t^2)\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{5}}(3t+4t^2)$

と表されているとする．

(1)　$x$と$y$の式から$t$を消去すれば

$16x^2+\boxed{\text{コ}}xy+\boxed{\text{サ}}{y}^2+\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}y=0$

となる．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{5}}(4t-3t^2),{\displaystyle \frac{1}{5}}(3t+4t^2))$と放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{Q}(-t,t^2)$の中点$\mathrm{M}$の座標は$t$を用いて$\boxed{\text{セ}}$と表されるので，$\mathrm{M}$は$t$の値に関係なく定直線$y=\boxed{\text{ソ}}x$上にある．また，$\mathrm{P}\ne \mathrm{Q}$のとき，この直線$y=\boxed{\text{ソ}}x$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線は垂直である．

(3)　曲線$C$と放物線$y=x^2$の原点以外の共有点の座標は$\boxed{\text{タ}}$であり，曲線$C$と放物線$y=x^2$で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{チ}}$である．

【３】

(1)　$1$個のさいころを，次の規則で勝者が決まるまで投げ続けるものとする．

• 偶数が出ると，$\mathrm{A}$君は$2$点，
• 奇数が出ると，$\mathrm{B}$君は$1$点

を得点し，先に$4$点取った方を勝者とする．多くとも$\boxed{\text{ツ}}$回まで投げると必ず勝者が決まる．また，$\mathrm{A}$君が勝つ確率は$\boxed{\text{テ}}$である．

【３】

(2)　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君，$\mathrm{C}$君の$3$人でじゃんけんをすることにした．$1$回目は$3$人で始め，負けたものは抜けることとし，勝者が$1$人になるまで繰り返す．$n$を自然数とし，$n$回目に勝者が$1$人になる確率を求める．

(a)　$1$回目で勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ト}}$である．

(b)　$1$回目では勝者が$1$人にならず，$2$回目に勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ナ}}$である．

(c)　$n\geqq 3$とし，$m$は自然数で$1<m<n$とする．

(ⅰ)　$n-1$回目まで$3$人とも負けないで，$n$回目に勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ニ}}$である．

(ⅱ)　$1$回目に$1$人が負け，その後残った$2$人がじゃんけんを続け，初めから数えて$n$回目に勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(ⅲ)　$1$回目から$m-1$回目まで$3$人とも負けないで，$m$回目に人が負け，その語残った$2$人がじゃんけんを続け，初めから数えて$n$回目に勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ネ}}$である．

　したがって，(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)より$n$回目に勝者が$1$人になる確率は$\boxed{\text{ノ}}$となる．

【４】　$k$を実数とし，

$I(k)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-k|dx$

とする．

(1)　$k$を用いて，

$\begin{array}{cc}k\leqq 1\text{のとき，}& I(k)=\boxed{\text{ハ}}\text{，}\\ 1<k\leqq e\text{のとき，}& I(k)=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\\ e<k\text{のとき，}& I(k)=\boxed{\text{フ}}\end{array}$

となる．

(2)　$0\leqq k\leqq e$とする．$I(k)$は

• $k=\boxed{\text{ヘ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{ホ}}$，
• $k=\boxed{\text{マ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ミ}}$

をとる．