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2009-14991-0101
2009 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部2月1日実施
3教科型(理科1科目選択方式)
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡(x )= 11 +e2 ⁢x-1 ( -∞< x<∞ )
とおく.次の をうめ,設問(2),(3)に答えよ.
(1) f⁡(x ) の導関数 f ′⁡ (x) は
f′ ⁡(x )= ①
であり, f⁡( x) の 2 次導関数 f ″⁡ (x) は
f″ ⁡(x )= ② ( 1+e 2⁢x -1 ) 3
である.
曲線 y= f⁡( x) には,変曲点が 1 つある.変曲点の座標は ③ である.
曲線 y= f⁡( x) には,漸近線が 2 本ある.そのうちの 1 つは, y=0 である.もう一方の漸近線の方程式は ④ である.
(2) 曲線 y= f⁡( x) の増減表を記述欄にかき,変曲点と漸近線が分かるように, y=f⁡ (x) のグラフの概形を解答用紙の ⑤ にかけ.
(3) ④ で求めた漸近線, y 軸,直線 x =1 と曲線 y =f⁡ (x) によって囲まれてできる領域の面積を求めよ(解答は記述欄にかけ).
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【2】 2 次正方行列 A について,実数を成分とする行列 X =( xy y z ) は
X2- 2⁢A ⁢X-2 ⁢A-E =O
を満たし,
x⁢z- y2 >0 ,x> 0
が成り立っているとする.ただし, E は単位行列, O は零行列とする.次の問いに答えよ.
(1) z>0 が成り立つことを示し, X+E が逆行列をもつことを示せ.
(2) 等式
X2 -2⁢ A⁢X -2⁢ A-E =(X -B) ⁢(X +E)
を満たす行列 B を, A と E で表せ.
(3) X を A , E を用いて表せ.
(4)
A1 =( 3- 1 -1 3 )
とおき, X2- 2⁢A 1⁢X -2⁢ A1 -E=O を満たす X を A 2 とおく.つづいて X 2-2 ⁢A2 ⁢X- 2⁢A 2-E =O を満たす X を A 3 とおく.これを繰り返して A n-1 まで定めたとき, X 2-2 ⁢A n-1 ⁢X- 2⁢A n-1 -E =O ( n≧2 ) を満たす X を A n とおく. An を求めよ.ただし,解答は n を用いて成分で表せ.
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【3】 次の をうめよ.
a は正の定数とする. 0≦x ≦ π2 ⁢a において, y=sin ⁡a⁢ x のグラフと直線 x= π 2⁢a と x 軸とで囲まれた部分を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 1 とおく. V1 を a を用いて表すと
V1 = ①
曲線 y= sin⁡a ⁢x , 直線 y= 1, および y 軸で囲まれた領域を, y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 2 とおく.
dy dx = ②
である. V2 は x の関数 f ⁡(x )= ③ の定積分として
V2 = ∫0 π 2⁢a ⁡f⁡ (x)⁢ dx ⋯(*)
で与えられる.また, C を積分定数として
∫⁡ x⁢sin ⁡a⁢ x⁢d x= 1a 2 ⁢( ④ ) +C
が成り立つので,(*)により, V2 は a を用いて
V2 = ⑤
と表せる.
① ,⑤ により, V1 =V2 となる a の値は ⑥ である.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 硬貨 A と硬貨 B を,それぞれ続けて 8 回投げる.どちらの硬貨も, 1 回の硬貨投げで,表の出る確率は 12 であり,裏の出る確率は 12 であるとする. A の硬貨を 8 回投げて表が出る回数と, B の硬貨を 8 回投げて表が出る回数の差が, 7 以上となる確率は ① 2 15 である.
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(2) α ,β , γ を解とする x の 3 次方程式 (x -α) ⁢(x -β) ⁢(x -γ) =0 は展開して整理すると x3- 13⁢x -12= 0 となる.このとき α +β+ γ の値は ② であり, α2 +β 2+ γ2 の値は ③ である.
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(3) 0<α , β<90 ° とし, tan⁡α = 15 ,tan ⁡β= 2 3 とする.このとき α +β= ④ ° である.
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(4) 空間の 2 つのベクトル a →= (3, 2,1 ) と b →= (2, -1, 3) のなす角 θ を求めると, θ= ⑤ ° である.ただし, 0≦θ ≦180 ° とする.