2009　関西大　理系学部2月1日実施MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{2x-1}}}\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$

とおく．次の$\boxed{}$をうめ，設問(2)，(3)に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}$

であり，$f(x)$の$2$次導関数$f^{″}(x)$は

$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{{(1+e^{2x-1})}^3}}$

である．

　曲線$y=f(x)$には，変曲点が$1$つある．変曲点の座標は$\boxed{\text{③}}$である．

　曲線$y=f(x)$には，漸近線が$2$本ある．そのうちの$1$つは，$y=0$である．もう一方の漸近線の方程式は$\boxed{\text{④}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$の増減表を記述欄にかき，変曲点と漸近線が分かるように，$y=f(x)$のグラフの概形を解答用紙の$\boxed{\text{⑤}}$にかけ．

(3)　$\text{④}$で求めた漸近線，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=f(x)$によって囲まれてできる領域の面積を求めよ（解答は記述欄にかけ）．

【２】　$2$次正方行列$A$について，実数を成分とする行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right)$は

$X^2-2AX-2A-E=O$

を満たし，

$xz-y^2>0\text{，}x>0$

が成り立っているとする．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z>0$が成り立つことを示し，$X+E$が逆行列をもつことを示せ．

(2)　等式

$X^2-2AX-2A-E=(X-B)(X+E)$

を満たす行列$B$を，$A$と$E$で表せ．

(3)　$X$を$A\text{，}E$を用いて表せ．

(4)　

$A_1=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

とおき，$X^2-2A_{1}X-2A_1-E=O$を満たす$X$を$A_2$とおく．つづいて$X^2-2A_{2}X-2A_2-E=O$を満たす$X$を$A_3$とおく．これを繰り返して$A_{n-1}$まで定めたとき，$X^2-2A_{n-1}X-2A_{n-1}-E=O\text{（}n\geqq 2\text{）}$を満たす$X$を$A_n$とおく．$A_n$を求めよ．ただし，解答は$n$を用いて成分で表せ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$a$は正の定数とする．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2a}}$において，$y=\sin ax$のグラフと直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2a}}$と$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とおく．$V_1$を$a$を用いて表すと

$V_1=\boxed{\text{①}}$

である．

　曲線$y=\sin ax\text{，}$直線$y=1\text{，}$および$y$軸で囲まれた領域を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\boxed{\text{②}}$

である．$V_2$は$x$の関数$f(x)=\boxed{\text{③}}$の定積分として

$V_2={\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2a}}}}f(x)dx\cdots$(＊)

で与えられる．また，$C$を積分定数として

${\displaystyle \int }x\sin axdx={\displaystyle \frac{1}{a^2}}(\boxed{\text{④}})+C$

が成り立つので，(＊)により，$V_2$は$a$を用いて

$V_2=\boxed{\text{⑤}}$

と表せる．

　$\text{①}\text{，}\text{⑤}$により，$V_1=V_2$となる$a$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　硬貨$\mathrm{A}$と硬貨$\mathrm{B}$を，それぞれ続けて$8$回投げる．どちらの硬貨も，$1$回の硬貨投げで，表の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，裏の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．$\mathrm{A}$の硬貨を$8$回投げて表が出る回数と，$\mathrm{B}$の硬貨を$8$回投げて表が出る回数の差が，$7$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{2^{15}}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を解とする$x$の$3$次方程式$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$は展開して整理すると$x^3-13x-12=0$となる．このとき$\alpha +\beta +\gamma$の値は$\boxed{\text{②}}$であり，${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$の値は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$0<\alpha \text{，}\beta <90°$とし，$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．このとき$\alpha +\beta =\boxed{\text{④}}°$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　空間の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,2,1)$と$\overrightarrow{b}=(2,-1,3)$のなす角$\theta$を求めると，$\theta =\boxed{\text{⑤}}°$である．ただし，$0\leqq \theta \leqq 180°$とする．