2009　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$xy$平面上に$2$つの曲線$C_1$と$C_2$があり，$C_1$と$C_2$の方程式は

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}{C}_2:y={\displaystyle \frac{9}{{(x+2)}^2}}$

である．

(1)　$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点をもち，その共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおく．このとき，$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\alpha \text{，}\beta$に対して，$\alpha <x<\beta$において$C_2$は$C_1$より上方にあることを示せ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$n$を自然数として，数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{2^n}}$

によって定められている．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_2=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$b_n=2^n{a}_n$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$b_n$を$n$を用いて表すと$b_n=\boxed{\text{③}}$であり，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\boxed{\text{④}}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\boxed{\text{⑤}}$である．

【３】　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle (\frac{n-1}{n\sqrt{3n^2+1^2}}+\frac{n-2}{n\sqrt{3n^2+2^2}}}$$+{\displaystyle \frac{n-3}{n\sqrt{3n^2+3^2}}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{n-n}{n\sqrt{3n^2+n^2}}})$を$\alpha$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{d\theta }\log \left(\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }\right)}=\boxed{\text{①}}$である．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　${\displaystyle \frac{n-1}{n\sqrt{3n^2+1^2}}}{\displaystyle +\frac{n-2}{n\sqrt{3n^2+2^2}}}$${\displaystyle +\frac{n-3}{n\sqrt{3n^2+3^2}}}$$+\cdots {\displaystyle +\frac{n-n}{n\sqrt{3n^2+n^2}}}$$={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$と表すとき，$f(x)=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$\alpha =\boxed{\text{③}}$である．

(4)　(2)の$f(x)$について，$x$がすべての実数値をとるとき，$f(x)$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{④}}<f(x)<\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x$の$2$次方程式$x^2-ax+a^2-3=0$が，$p+qi\text{，}p-qi\text{（}i$は虚数単位，$p$は実数，$q$は$0$でない実数とする）の形で表される$2$つの虚数解をもつ．$(p+qi)(p-qi)=4$であるとき，実数$a$の値は$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$1\text{，}1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の$6$個の数字を横$1$列に並べてできる$6\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数は全部で$\boxed{\text{②}}$個ある．さらに，できた$6$桁の自然数の中から無作為に$1$個の自然数を選んだとき，同じ数字が全く隣り合っていない確率は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　座標平面上の定点$\mathrm{O}$を始点とする$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$があり，$\overrightarrow{a}$の大きさは$2\text{，}\overrightarrow{b}$の大きさは$3\sqrt{3}\text{，}\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$で定められる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　座標平面上に，直線$l:y=2x$がある．直線$l$上にはない点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線と$l$との交点$\mathrm{Q}$に移す$1$次変換を表す行列は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　図のように，$\mathrm{O}$を中心とする半径$6$の円$C$と半径$4$の円$C^{\prime }$がある．円$C$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を直径の両端とする円を描くと円$C^{\prime }$と点$\mathrm{R}$で交わった．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OR}$の中点を$\mathrm{N}$とすると，$\mathrm{MN}$の長さは$\boxed{\text{⑥}}$である．